فصل پنجم
تصویر همریختی‌ها
در این فصل ما به بررسی این امر می‌پردازیم که تحت کدام شرایط،- مدول غیر صفر دارای زیرمدول محض است که  یک مدول دوم است یا به طور معادل، کدام مدول ایده‌آل چسبیده دارد.
قضیه۵-۱: فرض کنید  یک حلقه نیم‌موضعی باشد. آنگاه هر - مدول باس، تعداد متناهی ایده‌آل‌ اول چسبیده دارد.
اثبات: فرض کنید، حلقه نیم موضعی است. در۲-۵۲ ثابت کردیم دارای تعداد متناهی ایده‌آل اولیه است. حال طبق ۲-۴۸ داریم هر ایده‌آل چسبیده یک مدول باس، اولیه است. بنابراین هر- مدول باس دارای تعداد متناهی ایده‌آل اول چسبیده است.

قضیه۵-۲: فرض کنید  یک حلقه و  یک  - مدول غیر صفر باشد به طوری‌که ایده‌آلی مانند  از  موجود باشد که این ایده‌آل در گردایه ایده‌آل‌های از  که ، ماکسیمال باشد. آنگاه  یک ایده‌آل اول چسبیده از  می باشد و یک مدول - دوم است. علاوه برآن، برابر اشتراک تمام زیرمدول‌های محض  از  است به طوری که  یک مدول - دوم است.
اثبات: ابتدا نشان می‌دهیم  ایده‌آل اول است. فرض کنید  و دو ایده‌آل از  باشند به طوری که زیر مجموعه  نباشند. آنگاه اگر و را در نظر بگیریم، و به طور محض شامل  می‌باشند. حال بنابر تعریف  داریم  و . در نتیجه ، و این به معنی این است که زیرمجموعه  نیست، و در نتیجه زیر مجموعه  نیست. لذا می‌توان گفت  ایده‌آل اول حلقه  است. برای اثبات دوم بودن مدول، فرض کنید ایده‌آلی از باشد به طوری که. بنابر ماکسیمال بودن در گردایه ایده‌آل‌های از به طوری که، داریم
.
به‌وضوح داریم و از طرفی بنابر تعریف  ، پوچ ساز  نمی‌تواند به طور محض شامل  باشد. لذا  یک مدول - دوم است. برای اثبات قسمت آخر این قضیه فرض کنید  زیرمدول  باشد که یک مدول - دوم است. بنابراین داریم. بنابراین برابر اشتراک تمام زیرمدول‌هایی مانند  است که ، - دوم است.
نتیجه۵-۳ : فرض کنید  یک حلقه و  یک  - مدول غیر صفر باشد. آنگاه گزاره های زیر معادلند:
 زیرمدول محض  از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است،
 زیرمدول محض از و ایده‌آل اول از وجود دارد به طوری که در گردایه ایده‌آل‌های از که ماکسیمال می باشد.
اثبات:  فرض کنید زیر مدول محض  از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است، قرار دهید . آنگاه یک ایده‌آل اول از  است و بنابراین . حال فرض کنید  ایده‌آلی از  باشد که به طور محض شامل  است.
از آنجایی که ، دوم است بنابر لم۴-۱ داریم. در نتیجه . بنابراین در گردایه ایده‌آل‌های از به طوری که ، ماکسیمال می باشد.
 فرض کنید زیرمدول محض از و ایده‌آل اول از وجود دارد به طوری که در گردایه ایده‌آل‌های از که ماکسیمال می باشد، قرار دهید. آنگاه  زیرمدول محض  است و داریم

بنابراین. حال فرض کنید ایده‌آل دلخواه از  باشد که به طور محض شامل  است. آنگاه بنابر تعریف  داریم بنابراین، و بنابراین . پس و بنابر لم۴-۱،  یک مدول - دوم است.
می‌توان قضیه۵-۲ را برای مدول‌ها روی حلقه‌هایی که در شرط زنجیر افزایشی صدق می‌کنند بررسی کرد.
نتیجه۵-۴: فرض کنید  یک حلقه باشد که در شرط زنجیر افزایشی روی ایده‌آل‌های دوطرفه صدق کند. آنگاه هر - مدول راست (یا چپ) غیر صفر  یک ایده‌آل اول چسبیده دارد.
اثبات: با توجه به این که و حلقه  در شرط زنجیر افزایشی روی ایده‌آل‌های دوطرفه صدق می‌کند، ایده‌آلی مانند  از  وجود دارد که در گردایه ایده‌آل‌های از  که، ماکسیمال است. حال بنابر قضیه۵-۲،  یک مدول - دوم است. بنابراین  یک ایده‌آل چسبیده است.
قضیه۵-۵: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که دارای شرط زنجیر افزایشی روی ایده‌آل‌های اول باشد و برای هر ایده‌آل محض از  یک عدد صحیح مثبت  و ایده‌آل های اول   وجود داشته باشد به طوری که . آنگاه :
 یک مدول راست غیر صفر، یک مدول دوم است اگر و تنها اگر برای هر ایده‌آل اول  از  داشته باشیم  یا ،
 هر - مدول راست (یا چپ) غیر صفر یک ایده‌آل اول چسبیده دارد.
اثبات: قسمت رفت بنابر لم۴-۱برقرار است. بالعکس فرض کنید یا برای هر ایده‌آل اول  از . حال فرض کنید ایده‌آل محض  باشد. بنابر فرض، یک عدد صحیح مثبت  و ایده‌آل‌های اول وجود دارد به طوری که  . اگر برای بعضی . آنگاه ، بنابراین. در غیر این صورت،  ، و بنابراین

بنابراین. لذا برای هر ایده‌آل از، داریم یا . حال بنابر لم۴-۱،  مدول دوم است.
 فرض کنید یک - مدول راست غیر صفر باشد. بنا به فرض عدد صحیح و ایده‌آل‌های اول  وجود دارد به طوری که . اگر به ازای هر، ، آنگاه

که یک تناقض است. بنابراین برای بعضی. حال از آنجایی که حلقه  در شرط زنجیر افزایشی برای ایده‌آل‌های اول صدق می‌کند، ایده‌آل اولی مانند  وجود دارد که  در گردایه‌ی ایده‌آل‌های‌ اول از  که در شرط  صدق می‌کنند ماکسیمال می‌باشد.
بنابراین. فرض کنید یک ایده‌آل اول از  باشد که به طور محض شامل  می‌باشد. بنا بر انتخاب  داریم. بنابراین داریم . حال بنابر قسمت، - مدول  دوم است. لذا بنابر نتیجه۴-۴ داریم - مدول  دوم است. بنابراین  ایده‌آل اول چسبیده است.
قضیه۵-۶: فرض کنید یک ایده‌آل راست- پوچ‌توان (محض) از یک حلقه (غیر صفر)  باشد. آنگاه هر - مدول راست غیر صفر، یک ایده‌آل اول چسبیده دارد اگر و تنها اگر هر - مدول راست غیر صفر یک ایده‌آل اول چسبیده داشته باشد.
اثبات: ابتدا فرض کنید هر - مدول غیر صفر ایده‌آل چسبیده دارد. اگر  یک - مدول راست غیر صفر باشد، آنگاه  یک - مدول غیر صفر است. بنا به فرض، زیرمدول محض  از  وجود دارد به طوری که - مدول  مدول دوم است. در نتیجه بنا بر نتیجه۴-۴، - مدول  دوم است. پس به عنوان - مدول، یک ایده‌آل چسبیده دارد.
بالعکس: فرض کنید هر- مدول راست غیر صفر ایده‌آل چسبیده داشته باشد. اگر یک  مدول راست غیر صفر باشد، بنابر لم ۲-۵۲، و بنابراین  یک - مدول راست غیر صفر است. حال بنابر فرض، زیرمدول محض از شامل  وجود دارد به طوری که  یک- مدول دوم است. حال بنابر نتیجه۴-۴،  یک - مدول دوم است. در نتیجه به عنوان- مدول، یک ایده‌آل چسبیده دارد.
نتیجه۵-۷: فرض کنید  یک حلقه باشد که شامل یک ایده‌آل- پوچ‌توان راست باشد به طوری که حلقه در شرط زنجیر افزایشی روی ایده‌آل‌ها صدق ‌کند. آنگاه هر - مدول راست غیر صفر، یک ایده‌آل چسبیده دارد.
اثبات: بنابر نتیجه۵-۴، هر - مدول راست، یک ایده‌آل چسبیده دارد. حال بنابر قضیه۵-۶، هر - مدول راست غیر صفر یک ایده‌آل چسبیده دارد.
فصل ششم
زیرمدول‌های دوم
دراین فصل نشان خواهیم داد که مشابه بعضی از نتایج برای مدول‌های اول نتایجی برای مدول‌های دوم نیز وجود دارد.
قضیه۶-۱: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  ، و  یک - مدول - دوم باشد. آنگاه هر مکمل غیر صفر در  یک مدول - دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک مکمل غیر صفر در  باشد، و  زیرمدولی از  باشد به طوری که  مکمل  در  باشد. حال اگر ایده‌آلی از  باشد به طوری که، آنگاه بنابر لم۴-۱،. در نتیجه
،
و بنابراین داریم. از آنجایی که و  مکمل  است لذا . بنابراین  برای هر ایده‌آل که. لذا طبق لم۴-۱،  یک مدول دوم است. از طرفی ، و برای هر ایده‌آلی مانند که زیر مجموعه  نباشد داریم. بنابراین . در نتیجه  یک مدول - دوم است.
فرض کنید  ایده‌آل اول حلقه  باشد، و فرض کنید  یک - مدول باشد. آنگاه بنابر نتیجه۴-۵ حاصل‌جمع هر تعداد زیرمدول - دوم از، - دوم است.
قضیه۶-۲: فرض کنید  یک حلقه باشد و  یک زنجیر از زیرمدول‌های دوم از یک - مدول راست  باشد. آنگاه  یک زیرمدول دوم از  است.
اثبات: ابتدا توجه کنید که  یک زیرمدول غیر صفر از  است. فرض کنید برای هر . بنا به فرض برای هر داریم  یا  و در این حالات به ترتیب داریم  یا . حال فرض کنید یک ایده‌آل از  باشد به طوری که . آنگاه  برای بعضی، و در این حالت . حال فرض کنید و . آنگاه ، از نتیجه می‌شود ، و بنابراین .
در غیر این صورت و در نتیجه . بنابراین برای هر  داریم ، و در نتیجه. حال بنا بر لم۴-۱،  مدول دوم است.
منظور از یک زیرمدول دوم ماکسیمال یک مدول، زیرمدول دومی است که مشمول در زیرمدول دوم دیگری نباشد.
نتیجه۶-۳: فرض کنید  یک مدول غیر صفر باشد. آنگاه هر زیرمدول دوم از  زیر مجموعه یک زیرمدول دوم ماکسیمال از  است.
اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول دوم  باشد، حال فرض کنید برابر مجموعه زیرمدول‌های دوم شامل  باشد. اگر یک زنجیر از اعضای باشد، بنابر قضیه ۶-۲،  عضو است. بنابراین هر زنجیر در کران بالا دارد و لذا بنابر لم زرن این مجموعه عضو ماکسیمال دارد.
در ]۲۰، قضیه ۴.۲[ ثابت شده است که هر مدول نوتری غیر صفر شامل تعداد متناهی زیر مدول‌ اول مینیمال است.
حال به قضیه مشابهی که در زیر آمده است، و تعمیمی از ]۶، نتیجه ۲.۶[ است، توجه کنید.
قضیه۶-۴: هر مدول آرتینی غیر صفر شامل فقط تعداد متناهی زیرمدول‌ دوم ماکسیمال است.
اثبات: فرض کنید  یک حلقه باشد، و فرض کنید  یک - مدول غیر صفر آرتینی باشد به طوری که  تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال نداشته باشد. حال فرض کنید گردایه‌ی تمام زیرمدول‌های غیر صفر از  باشد به طوری که شامل تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال از  نباشد. آنگاه ، و بنابراین ناتهی است. حال از آنجایی که مدول، آرتینی است لذا این گردایه عضو مینیمال غیر صفری مانند  دارد. به‌وضوح  زیرمدول دوم نیست. لذا بنابر لم۴-۱، ایده‌آل از  موجود است به طوری که  و. حال فرض کنید . آنگاه به‌وضوح  زیرمدولی از  است به طوری که  و بنابراین. فرض کنید. حال بنابر تعریف  می‌توان نتیجه گرفت  شامل تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال از  مانند می‌باشد به طوری که  یک عدد صحیح مثبت می‌باشد، و از طرفی نتیجه می‌دهد شامل تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال از  مانند می‌باشد به طوری که یک عدد صحیح مثبت می‌باشد. حال اگر زیرمدول دوم ماکسیمالی از  باشد. بنابر لم۴-۱، یا . اگر، آنگاه  و بنابراین  برای بعضی  و بنابراین . در حالت دیگر اگر، آنگاه  و بنابراین  برای بعضی . در این حالت. در نتیجه هر زیرمدول دوم ماکسیمال از  متعلق به مجموعه می‌باشد. بنابراین  حداکثر به تعداد زیرمدول دوم ماکسیمال دارد و این یک تناقض است. حال فرض کنید. در این حالت، برای بعضی و دوباره می‌توان گفت  حداکثر تعداد متناهی زیرمدول دوم ماکسیمال دارد.
فصل هفتم
نتایج بیشتر
ابتدا به نتایج زیر در مورد خانواده‌های هم- مستقل اشاره می‌کنیم.
لم۷-۱: فرض کنید زیرمدول‌های مدول  باشند به طوری که  و . آنگاه .