۶-۲-۱: تعریف
اگر هر جمله معادله دیفرانسیل جزئی شامل متغیر وابسته یا یکی از مشتق­های آن باشد آن­گاه آن معادله همگن است در غیر این­صورت ناهمگن محسوب می­ شود.
۱-۲-۷ : مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.
معادله لاپلاس
معادله پواسن^[۳] معادله لاپلاس یک معادله دیفرانسیل­جزئی­ خطی همگن و معادله پواسن، درصورتی­که ، یک معادله دیفرانسیل جزئی غیرهمگن است.
-۲-۱ ۸ :تعریف
جواب یک معادله دیفرانسیل جزئی با متغیرهای مستقل در ناحیه ، تابعی است که در این ناحیه تمامی مشتقات جزئی­اش در معادله وجود داشته باشد و در معادله صدق کند.
۳-۱ : شرایط اولیه و مرزی برای معادلات دیفرانسیل جزئی

برای به­دست آوردن جواب هر معادله دیفرانسیل جزئی، باید شرایطی در دست باشد که به ما در پیدا کردن جواب معادله کمک کند. معمولاً این شرایط در قسمتی از ناحیه­ای که ما جواب را در آن جستجو می­کنیم بیان خواهد شد. واضح است که شرایط مرزی، تابع مجهول یا مشتق های آن در نواحی مرزی تعیین شده را توصیف می­ کند و شرایط اولیه تابع مجهول را در زمان آغازی معین می­ کند.
۱-۳-۱: مثال
معادله زیر را درنظر بگیرید.
۰≤ x≤۱,
شرایط اولیه این معادله به­ صورت زیر است
و شرایط مرزی عبارت است از
۴-۱: معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
یک معادله دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم، معادله­ای است که در آن مشتقات تابع مجهول از مرتبه اول و دوم هستند و بالاترین مشتق موجود در آن از مرتبه دوم است. به­عبارت دیگر به­شکل زیر است
این معادلات کاربردهای زیادی در مسائل مکانیک سیالات و مکانیک جامدات، انتشار موج، و هدایت گرما در جامدات و غیره دارند.
به همین جهت حل آن­ها بسیار اهمیت دارد و روش­های تحلیلی زیادی برای حل آن­ها پیشنهاد شده ­است.
۱-۴-۱: دسته بندی معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم با دو متغیر مستقل
این معادلات در حالت کلی به شکل زیر هستند
که در آن و مقادیر ثابت، یا توابعی از متغیرهای مستقل و یا بر حسب هستند [۲,۱].
فرض کنید
معادله (۶-۱) به­شکل زیر نوشته ­می­ شود
برای ادامه کار دو تعریف ارائه می­ شود.
۲-۴-۱ : تعریف
منحنی مشخصه یک معادله دیفرانسیل، منحنی­هایی هستند که روی آن­ها بالاترین مرتبه مشتق به طور یکتا معین نیستند. چون معادله از مرتبه دوم است لذا بالاترین مرتبه مشتق دوم مدنظر است که آن­ها را نام­گذاری کردیم.
۳-۴-۱ : تعریف
معادله دیفرانسیل مشخصه معادله­ای است که منحنی­ مشخصه جواب­های آن هستند.
دیفرانسیل­های عبارت اند از
حال سه معادله را به صورت یک دستگاه می­نویسیم
مجهولند. لذا برای این­که این دستگاه جواب یکتا داشته باشد دترمینان ماتریس ضرایب باید مخالف صفر باشد.
طبق تعریف منحنی­های مشخصه، منحنی­هایی هستند که در آن­ها این دستگاه جواب ندارد، یعنیD .
=۰٫
طرفین را بر تقسیم می­کنیم
این معادله، معادله مشخصه است. ریشه ­های معادله مشخصه شیب­های منحنی مشخصه هستند.
لذا معادله
یک معادله درجه دوم بر حسب است. با تشکیل سه حالت برای آن در نظر گرفته می­ شود.

1. 1. اگر ، معادله دارای دو ریشه حقیقی و متمایز است. لذا دو منحنی مشخصه متمایز داریم. دراین حالت به معادله، معادله هذلولوی گویند.

1. 1. اگر ، معادله دارای یک ریشه حقیقی و مضاعف است. پس یک منحنی مشخصه حقیقی داریم و به آن معادله سهموی گویند.

1. 1. اگر ، معادله دو ریشه مختلط متمایز دارد. لذا دو منحنی مشخصه مختلط داریم و به آن معادله بیضوی می­گوییم.

۴-۴-۱: مثال
معادلات زیر را در نظر بگیرید.