(۴)
چرخش تصویر از طریق یک زاویه ɵ در حوزه مکانی منجر به چرخش در حوزه تبدیل فوریه گسسته با همان زاویه میشود.
(۵)
از معادله شماره (۳) آشکار است که تاثیر شیفت در حوزه مکان فقط در فاز تصویر در حوزه فرکانس مشاهده میشود
تبدیل فوریه گسسته را محاسبه می کنیم و تبدیل فوریه را دوباره مرتب می کنیم زیرا میبایست مبدا مختصات در مرکز تصویرباشد .نتیجه تبدیل فوریه مختاط است که برای هر مقدار تصویر نتیجه دومقدار حقیقی و موهومی می باشد.

بعد از اینکه بخش حقیقی و موهومی طیف فوریه را بدست آوردیم می توانیم دامنه طیف فوریه­­ رابااستفاده از  محاسبه نماییم . وقتی که دامنه فوریه را بدست آوردیم می توانیم از SIFT برای پیدا نمودن نقاط مورد نظر استفاده نماییم .که فرایند پیدا نمودن و فیلتر کردن نقاط مورد نظر بطور کامل توضیح داده شده است.زیرا ضرایب دامنه شامل تمام اطلاعات درباره ساختار هندسی تصویر است و SIFT این نقاط مقاوم را پیدا می کند.
سپس واتر مارک تولید شده را درمختصات نقاط استخراج شده مناسب در قسمت حقیقی همانطور که قبلا گفته شد قرار می گیرد.
برای اینکار ابتدا نیاز است که یک تصویر جدید با اندازه ایی برابر تصویر اصلی و پس زمینه صفر ایجاد شود.سپس مختصات دوتا از قوی ترین نقاط در فرکانس میانی استخراجی توسط SIFT را پیدا نموده و واترمارک را جایگذاریکنیم. آخرین قدم به منظور اضافه نمودن این تصویر که بتوان واتر مارک را اضافه نمود.تصویر زیر که با نام Wm نشان گذاری شده است در مرحله بعد مورد استفاده قرار می گیرد شکل(۳-۷).
شکل(۳-۷) تصویر نهایی W_m
نهایتا واتر مارک را در مکان مشخص شده از دامنه تبدیل فوریه را در بخش حقیقی تبدیل فوریه قرار می دهیم .همانطور که قبلا گفته شد. بیشترین استفاده معمول توابع جایگذاری توابع جمع کننده یا ضرب کننده هستند .در این روش از جایگذار جمعی استفاده می شود .که بیشتر به تصویر وابسته است.زیرا هر چقدر واتر مارک تصویر اصلی را تغییر می دهد.بستگی به مقدار تصویر در آن نقطه دارد. بعد از اینکه جایگذاری پایان یافت معکوس تبدیل فوریه را اعمال می کنیم .این جایگذاری در دامنه تبدیل فوریه گسسته که شامل واتر مارک است را شکل می دهند.حوزه فوریه بعد ازجایگذاری درشکل(۳-۸) زیر نشان داده شده است .
شکل (۳-۸) قسمت حقیقی دامنه بعد از جایگذاری
روش تست واتر مارک در این الگوریتم اثبات وجود واتر مارک است که می گوید واتر مارک وجود دارد که آشکار شده است در این روش اگر واتر مارک از تخریب نجات یابد می گوییم که واتر مارک قابل شناسایی است.وقتی که واتر مارک در تبدیل فوریه جایگذاری شد هنوز یک چیز دیگر باقی مانده است .که فرایند جایگذاری پایان پذیرد. تبدیل معکوس فوریه که سیگنال را از حوزه فرکانس به حوزه مکانی تبدیل می کند شکل (۳-۹ ).
(۷)
بمحض اینکه تبدیل فوریه معکوس انجام پذیرفت ما تصویر واتر مارک شده داریم.
شکل (۳-۹) تصویر واترمارک شده
PSNR یک متر برای ارزیابی کیفیت ادراکی تصویر واتر مارک شده است.
(۸)
جایی که MAX بیشترین مقدار در تصویر است و MSE میانگین مربعات خطاست که بصورت زیر تعریف می شود.

(۹)
mوn ابعاد تصویرx وy مختصات آن Iw تصویر واتر مارک شده و I تصویر اصلی است.
مقدار PSNR بطور معمول در مقیاس دسی بل بیان میشود .مقادیر بالای ۴۰db کیفیت خوب و مقادیر زیر ۳۰db کیفیت پایین را بیان می کنند وهر چه این مقدار بالاتر باشد بهتر است بنابراین برای دیده نشدن واترمارک مقادیر بالای ۴۰ را در نظر می گیریم .
۳-۴ ) آشکار سازی واتر مارک
وقتی که فرایند جایگذاری کامل شد، فرایند آشکارسازی اجرا می شود که مشخص نماید آیا بعد از اینکه تصویر تحت تحریف های معمول و دستکاری عمدی قرار گرفت واتر مارک قابل تشخیص است.
طرح کلی در فرایند آشکارسازی بصورت زیر خلاصه می شود ابتدا تصویر واتر مارک شده گرفته شده و DFT را بر روی آن اعمال و ضرایب دامنه را محاسبه می شود .وقتی که دامنه بدست آمد ، الگوریتم SIFT بر روی آن اجرا تا نقاط مورد نظر الگوریتم بدست آید . سپس قویترین نقطه در حوزه میانی تبدیل فوریه را حساب میکنیم بدلیل اینکه تصویر واتر مارک شده دستخوش اعوجاج وتحریف شده است . مختصات نقاط مورد نظر که توسط SIFT کشف می شود احتمالا کمی متفاوت از آن چیزی است که در جایگذاری پیدا می شود. بعد از آنکه ما نقاط مورد نظر را بعنوان محل واتر مارک جایگذاری شده بدست آوردیم.یک ناحیه مربعی را در اطراف این نقاط دردامنه طیف فوریه که سایز آن برابر قطر واتر مارک استخراج می شود .این ناحیه بعنوان ناحیه محتمل حاوی واتر مارک در نظر گرفته می شود .همبستگی متقابل نرمالیزه شده بین آن ناحیه و واتر مارک اصلی محاسبه شده و مشخص می کند که آیا واتر مارک قابل آشکار سازی می باشد یا خیر .بلاک دیاگرام این فرایند در شکل(۳-۱۰) زیر است .
شکل (۳-۱۰) بلاک دیاگرام فرایند آشکار سازی
دو مرحله اول در آشکار سازی واتر مارک مشابه جایگذاری آنست و تنها تفاوت آنست که در اینجا از تصویر واتر مارک شده استفاده می شود زیرا آشکار سازی که مااستفاده می کنیم یک آشکار ساز نابیناست و نیاز به تصویر اولیه واتر مارک نشده نداریم و فقط تصویر واتر مارک شده به همراه خود علامت واترمارک را نیازداریم .شکی نیست که روش پیشنهادی مطابقت را بهبود می بخشد زیرا با نیاز به حضور تصویر اصلی محدود نشده است .در بعضی از کاربردها که تصویر اصلی موجود نیست آشکا ساز بینا استفاده ندارد و آشکار ساز نابینا بخوبی کار می کند.
بنابراین، بر تصویر واتر مارک شده در فرایند جایگذاری DFT را اعمال می نماییم .بعد از جدا سازی بخش حقیقی و بخش موهومی طیف فوریه ضرایب دامنه محاسبه می شود .سپس SIFT مجددا بر ضرایب دامنه اعمال می گردد .که نقاط جدید را پیدا می نماییم. بدلیل اینکه که تصویر واتر مارک شده احتمالادچار اعوجاج شده و تغییراتی را به تبدیل فوریه تحمیل می کند .که منتج به این می شود که SIFT نقاطی را پیدا کند که از نقاطی که در مرحله جایگذاری پیدا شده اند جابجا شده باشند .بدلیل اینکه مشخص نیست کدام نقاط واقعی حک شده هستند نیازاست که تمامی نقاط در فرکانس میانی را جهت امکان اینکه نقطه جایگذاری باشد در نظر بگیریم و تمامی آنها را ذخیره کنیم.
برای مثال تصویر زیر یک نقاط پیدا شده توسط الگوریتم SIFT بین در تصویر واتر مارک شده بدون حمله ( در حین آشکار سازی) است می توانیم ببینیم شکل (۳-۱۱ ) اکثر نقاط تصویر واتر مارک شده بر نقاط تصویراصلی منطبق یا بسیار نزدیک به آن است که نشان می دهد آشکار ساز کار می کند.
شکل (۳-۱۱) نقاط استخراج شده توسط SIFT در تصویر واترمارک شده
وقتی که نقاط جدید پیدا شدند ، قدم بعدی استخراج ناحیه واتر مارک شده است .اندازه نواحی مربعی شکل برابر قطر واتر مارک در قسمت حقیقی استخراج می شود مراکز این نواحی مختصات نقاط استخراج شده توسط الگوریتم SIFT است .
دلیلی که این نواحی را استخراج شده محاسبه شباهت بین آنها و واتر مارک است بطوری که بتوان مشخص کرد آیا واتر مارک به اندازه کافی مقاوم بوده و هنوز هم بعد از اعوجاج و تحریف قابل تشخیص می باشد.با این روش نیاز نیست به سراغ تمامی بخش دامنه برای محاسبه شباهت در هر نقطه برویم .اما ترجیحا نشان کردن نواحیی که بیشترین احتمال وجود واتر مارک را دارند که محاسبه را سریعتر و آسانتر برای یافتن پیک ها(قله ها) در نقشه همبستگی می کند.
روش های اندازه گیری زیادی وجود دارند .جهت ارزیابی شباهت بین دو تصویر دراین پایان نامه ، از همبستگی متقابل نرمالیزه استفاده شده است .همبستگی متقابل یک روش استاندارد برای تخمین درجه وابستگی دو سری می باشد که این عمل اندازه گیری شباهت است .
برای کاربردهای پردازش تصویر که در آن شفافیت تصویر و الگو بعلت نور و وضعیت نور دهی می توانند متفاوت باشند .تصویر ابتدا بایستی نرمالیزه شود .این عمل عموما در هر مرحله با تفریق میانگین و تقسیم کردن بر انحراف معیار محاسبه می شود .مقدار نرمال شده همبستگی متقابل بین ۱ و -۱ متغییر است مقدار یک بمعنای اینست که در یک نقطه دو تصویر دقیقا یک شکل هستند در جایی که -۱ نشان دهنده اینست که آنها شکل مشابه دارند ولی علامتشان مختلف است .یک مقدار نزدیک به صفر نشان دهنده نا مربوط یودن نقاط است.
برای شناسایی همبستگی ماکزیمم می بایست واتر مارک اصلی را در برابر ناحیه استخراجی محاسبه کنیم برای تابع انطباق الگو برای همبستگی ازیک تابع قدرتمند Matlab استفاده شده است .ماکزیمم همبستگی برای این روش ممکن است خیلی زیاد نباشد زیرا از یک آشکار ساز نا بینا استفاده کردیم که نیاز به تصویر اصلی واتر مارک نشده ندارد .بدون تصویر اصلی ما نمی توانیم واتر مارک را استخراج کنیم فقط نواحیی که ممکن است شامل واتر مارک است مشخص می شود .ماکزیمم همبستگی از بقیه مقادیر متمایز می شودعبارت دیگربصورت یک قله آشکار آشکار می شود.در چنین موردی می توان نتیجه گرفت که واتر مارک قابل تشخیص است .با نگاه کردن به نمودار همبستگی و وجود یک پیک (قله) می توان وجود واتر مارک را تشخیص داد
معمولا بیشتر روش های واتر مارک یک مقدار T را بعنوان آستانه در حین آشکارسازی تنظیم می کنند وقتی که ماکزیمم همبستگی بدست آمد ، آنها مقدار ماکزیمم را با آستانه مقایسه T مقایسه می کنند.آگر ماکزیمم مقدار بیشتر از T باشد واتر مارک قابل آشکارسازی است این یک کارمعمول برای مشخص کردن حضور واتر مارک است .مشکل اینست که چگونهT مناسب را انتخاب کنیم.بیشتر روشها به سادگی از مقدار تجربی با تجربه مرتبط و آزمایش تصاویر بدست می آید استفاده می کنند.
همانطور که گفته شد برای آشکار سازی وجود واتر مارک از همبستگی استفاده می نماییم.
(۱۰)
که N.M اندازه تصویر پوشش است وM^*(u,v) دامنه ضریب تبدیل فوریه تصویر واتر مارک شده است .قانون تصمیم گیری برای اثبات حضور واتر مارک بصورت زیر بیان می شود.
H₀:تصویر با W واتر مارک شده است اگر c  T
:H₁تصویر با W واتر مارک نشده است اگر
آستانه T بصورت  محاسبه می شود که در آن  و  مقدار مربوط به چگالی احتمال گوسی مربوط به فرضهای H₀وH₁ به ترتیب می باشد.
فصل چهارم
پیاده سازی
جهت ارزیابی روش نهان نگاری پیشنهادی در این فصل جزییات پیاده سازی روش نهان نگاری پیشنهادی مبتنی بر DFT-SIFT و نتایج حاصل از تحقیق ارائه می شود. هرچند که هدف از این پایان نامه مقاومت واتر مارک در مقابل حملات هندسی می باشد ولی کارکرد مناسب این روش در مقابل حملات معمول در نهان نگاری نیز نشان داده شده است .در ادامه این مطلب ابتدا به تشریح روش پیاده سازی و نرم افزار نوشته شده و ابزار مورد استفاده و پارامترهای اندازه گیری نتایج در آن می پردازیم . در ادامه الگوریتم را اجرا و نتایج آزمایشات را بیان می کنیم.نتایج حاصل از آزمایشات در قالب جداول و اشکال نشان داده می شود.
۴-۱ )پیاده سازی الگوریتم
الگوریتم پیشنهاد شده برای نهان نگاری غیر قابل مشاهده تصاویر در حوزه تبدیل فوریه گسسته و استفاده از الگوریتSIFT می باشد .برای پیاده سازی الگوریتم از نرم افزار MATLAB 2013 استفاده شده است .این ابزار بر روی کامپیوتری با پردازنده ۲.۶Ghz Core i5 و حافظه ۸GB اجرا شده است کد های مربوط به پیاده سازی این الگوریتم در پیوست(الف) موجود است .
۴-۲)نتایج تجربی و ارزیابی
در این بخش کارایی روش پیشنهادی را ابتدا از نظر نامریی بودن تست می نماییم و سپس برابر حملات هندسی مانند تبدیلات چرخش،تغییر مقیاس و انتقال همچنین مقاومت در دیگر حملات ارزیابی معمول مطالعه می کنیم.
۴-۲-۱) تست نامریی بودن واتر مارک
هدف در این آزمایش نشان داده نامریی بود علامت واتر مارک در تصویر میزبان می باشد در این پایان نامه از یک تصویر مقیاس خاکستری که مطابق شکل(۴-۱)استفاده شده است و نهان نگاری مطابق الگوریتم پیشنهادی بر آن اعمال می گردد .تصویر واتر مارک شده در شکل ۲-۴ نشان داده شده است . همانطور که قبلا گفته شد PSNR بالاتر از ۳۰db یک مقدار تجربی برای تصویر واتر مارک شده بدون تغییر کیفیت آن می باشد.مقدار محاسبه شده PSNR=54.2070 نشان از نامریی بودن مناسب واتر مارک دارد.که نیز سیستم بینایی همین مشاهده ناپذیر بودن را تایید می کند.مقادیر مختلف α امتحان شد و عددی مابین ۵ تا ۲۰ بهترین نتیجه را برای رسیدن به اهداف الگوریتم و کیفیت تصویر نشان می دهد .در ادامه از α=۱۰ استفاده می شود.علاوه بر تصویر مورد آزمایش از تصاویری که همراه بسته پردازش تصویر نرم افزار MATLAB وجود دارد نیز استفاده شده است (تصویرLena ) که به نتایج مشابه ختم گردید.نتایج آزمایش نشان داد که با این روش نهان نگاری می توان به مقاومت و نامریی بودن مورد نیاز دست یافت شکل(۴-۲).
شکل (۴-۱) تصویر میزبان
شکل(۴-۲) تصویر واتر مارک شده
۴-۲-۲) تست چرخش
تصویر( ۴-۳ ) تصویر واتر مارک شده را با چرخش ۲۰’در جهت عکس عقربه های ساعت بدون تغییر مقیاس رانشان می دهد . تصویر( ۴-۴ ) نمودار همبستگی مابین واتر مارک اصلی و واتر مارک استخراج شده بعد از چرخش ۲۰’ می باشد.