(۴-۱۴)

که  ،  و  ماتریس­های ۲×۲ بوده و به صورت زیر تعریف می­شوند:

(۴-۱۵)

همچنین در رابطه (۴-۱۴) مقادیر زیر بدست می آیند:

(۴-۱۶)

برای حل دستگاه­هایی که ماتریس ضرایب آن­ها سه قطری است و هر عضو ماتریس نیز از یک ماتریس مربعی تشکیل شده، روش حذف سه قطری بلوکی، مورد استفاده قرار می گیرد. برای حل معادله (۴-۱۱)، با جاروب پیشرو داریم:

(۴-۱۷)

حال در جاروب پسرو داریم:

(۴-۱۸)

برای آشنایی بیشتر با این روش می توان به مرجع [۶۳] مراجعه نمود.
۴-۲- روش پرتابی
معادلات دیفرانسیل معمولی بر حسب نوع شرایط موجود به دو دسته تقسیم می­شوند:
الف- مسائل مقدار اولیه
ب- مسائل مقدار مرزی
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به­ دلیل اینکه همواره به یک شرط اولیه نیاز دارند، جزء مسائل مقدار اولیه محسوب می­شوند. ولی معادلات مرتبه دوم و بالاتر می­توانند در هر دو تقسیم بندی قرار گیرند و با توجه به اینکه هر معادله دیفرانسیل از مرتبه n را می توان به یک دستگاه n معادله دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل نمود
لذا اگر معادلات دیفرانسیل از نوع مسائل مقدار اولیه باشند توسط یکی از روش های هیون^[۵۷]، اویلر^[۵۸]، اویلر بهبود یافته^[۵۹] و یا رانگ کوتا^[۶۰] بسادگی می­توان جوابهای معادلات را به­دست آورد ولی روش حل معادلات با شرایط سرحدی^[۶۱] کمی مشکل تر است. در ادامه هر یک از روش های ذکر شده به طور مختصر مورد برسی قرار می گیرد.
شاید یکی از ابتدایی ترین روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، روش اویلر باشد. که امروزه به دلیل متدهای کاراتر کمتر مورد استفاده قرار می­گیرد، اما به لحاظ سادگی کاربردهای مهندسی دارد و برای تخمین جواب اولیه با اندازه گام^[۶۲] کوچک می­توان از آن استفاده کرد. معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید، هدف پیدا کردن مقادیر تابع y به ازای مقادیر مجزای x می­باشد:

(۴-۱۹)