از طرف چونm < n ، پس {y = f^m(x) ∈ {/ fⁱ(x) : i > n بنابراین {y /∈ {fⁱ(x) : i > n و این عبارت با فرضتناقض دارد، لذا ح م ثابت م شود.

قضیه ١.١.٢١. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متری فشردهیX باشد. برای هر عضودلخواهx ∈ X ، اگر (ω(x,f متناه باشد، آن اه مدار هر عضو از (ω(x,f مدار ی نقطهی تناوب است.
برهان. فرض م کنیمF ی زیرمجموعه​ی سره و غیرته از (ω(x,f باشد. قرار م دهیم ∅ ≠F′ = ω(x,f) F .هن ام که ₍ω_(x,f متناه است، پس همسای هایU وV ازF و ′F، به ترتیب، موجود است بهطوریکه دارایخواص زیر م باشند
F ⊆ U, F^′ ⊆ V, U ∩ V = ∅.
.ω(x,f) ⊆ U ∪ V پس،ω(x,f) = F ∪ F′ چون
بنابراین م توانیم نتیجه ب یریم که برایn های به قدر کاف بزرگfⁿ(x) ∈ U یاfⁿ(x) ∈ V . یعن
∃ N₀ s.t ∀n > N₀, fⁿ(x) ∈ U ∨ fⁿ(x) ∈ V.
پس م توانیم دنبالهی {n_i} را طوری بسازیم کهfⁿⁱ(x) ∈ U وfⁿⁱ⁺¹(x) ∈ V . چونX فشرده م باشد، پسدنبالهی {₍fⁿⁱ_(x} درX دارای ی زیر دنبالهی هم را به نقطهای مانندy متعلق بهU است. چون ی زیر دنباله از
{(fⁿⁱ(x} بهy هم راست، پس طبق تعریف نقاطω -حدی باید (y ∈ ω(x,f. یعن
∃{n_ij} ⊆ {n_i} , fⁿⁱj(x) → y ∈ F.
با توجه به پیوستf داریم
f^nij+1(x) = f(f^nij(x) ) → f(y) ∈ F^′ ⊆ V.
در حال که م دانیمf^nij(x) ∈ V . در نتیجه ∅ ≠ ′f(F) ∩ F . یعن مجموعهی (ω(x,f دارای زیر مجموعهیناته و سره که تحتf پایا باشد، نیست.
فرض کنید ₍y ∈ ω_(x,f باشد. چون ₍ω_(x,f پیشرو پایا م باشد و مدار پیشرو ی نقطه نیز پیشرو پایاست.
یعن
f(ω(x,f) ) ⊆ ω(x,f),
∀z , f (O⁺(z,f)) ⊆ O⁺(z,f).
پس داریم (y ∈ O⁺(y,f) ⊆ ω(x,f. که نشان م دهد (O⁺(y,f ی مجموعهی پایا و ناته از (ω(x,f است.
چون ₍ω_(x,f دارای زیر مجموعهی سره و غیر ته و پایا نم باشد، پس
| O⁺(y,f) |=| ω(x,f) |< ∞.
یعن مدار نقطهیy ی مدار تناوب است.
تعریف ١.١.٣١. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متریX باشد. نقطهیx ∈ X رای نقطهی بازگشت ازf گوییم، هرگاه ₍x ∈ ω_(x,f. مجموعهی نقاط بازگشتf را با ₍R(_f نمایش م دهیم:
R(f) = {x ∈ X : x ∈ ω(x,f)}
.
گزاره ١.١.١۴. فرض م کنیمf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متری فشردهX باشد. مجموعهینقاط بازگشت ن اشتf ، پیشرو پایا م باشد. یعن
f(R(f)) ⊆ R(f).
برهان. فرض م کنیم (x ∈ R(f. در اینصورت (x ∈ ω(x,f. بنابراین دنبالهی {n_k} وجود دارد بهطوریکه
f^nk(x) → x، با توجه به پیوستf داریم
f^nk(f(x)) = f^nk+1(x) → f(x).
بنابراین (f(x) ∈ ω(f(x),f م باشد.یعن (f(x ی نقطه بازگشت ازf است و
f(x) ∈ R(f).
در پایان این بخش به معرف مجموعهی نقاط ناسرگردان م پردازیم.
تعریف ١.١.١۵. فرض کنیدf _: X → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متریX باشد. نقطهیx ∈ X رای نقطهی ناسرگردان م نامیم، هرگاه برای هر همسایU ازx ، عدد طبیعn ، چنان موجود باشد که
fⁿ(U) ∩ U ̸= ∅.
مجموعهی نقاط ناسرگردان را با ₍Ω(_f نمایش م دهیم. اگر نقطهیx ناسرگردان نباشد، آن را سرگردان نامیم.
گزاره ١.١.١۶. مجموعهی ₍Ω(_f ی مجموعهی بسته و پیشرو پایا م باشد که
.
برهان. بسته بودن: فرض کنید دنبالهی {x_n} ها متعلق به ₍Ω(_f باشد وx_n → y . م خواهیم ثابت کنیم که(.y ∈ Ω(f
برای این منظور فرض م کنیمU ی همسای ازy باشد. چونx_n → y پس ی _۰n وجود دارد بهطوریکه.x_n0 ∈ U پسU ی مجموعهی باز شامل نقطهی _۰x_n م باشد. طبق تعریف نقاط ناسرگردان یm وجود داردبهطوریکه.f^m_(U) ∩ U ≠ _ϕ چونU ی همسای دلخواه ازy بود، پسy ، ی نقطهی ناسرگردان م باشد.
پایا بودن: م خواهیم ثابت کنیم (.f(Ω(f)) ⊆ Ω(f
فرض کنید (x ∈ Ω(f باشد، ثابت م کنیم (.f(x) ∈ Ω(f فرض کنیدW ی مجموعهی باز شامل (f(xباشد. چونf ی ن اشت پیوسته ازX بهX م باشد، ₍f−^۱_(W ی مجموعهی باز شاملx است. بنابه این ه
فرض کردیم ₍x ∈ Ω(_f باشد و با توجه به تعریف نقاط ناسرگردان داریم,∅ ≠ (n s.t. fⁿ(f−^۱(W)) ∩ f−^۱(W∃
یعن
fⁿ−^۱(W) ∩ W ̸= ∅.
با اثر دادن ی بار ن اشتf روی دو مجموعهی فوق داریم ∅ ≠fⁿ_(W) ∩ W . پس ₍f_(x ی نقطهی ناسرگردانم باشد.اکنون ثابت م کنیم که (ω ⊆ Ω(f.
فرض کنیدy عضو دلخواه از مجموعهی ₍ω_(f باشد. طبق تعریف نقاطω -حدی، دنبالهی {n_k} و نقطهای
مانندx ∈ X وجود دارد بهطوریکه.f^nk(x) → y
اکنون فرض کنید کهU ی مجموعهی باز شامل نقطهیy باشد. چونy ی نقطهی حدی برای مجموعهی
{(f^nk(x} ^{است پس}N₀ ∈ N وجود دارد بهطوریکه
∀n_k > N₀ =⇒ f^nk(x) ∈ U,
فرض کنید _۲N₀ < n_k1 < n_k باشند.واضح است کهf^nk2(x) ,f^nk1(x) ∈ U بنابراین داریم