۱٫۰۷۸۲

۰٫۲۷۲۰

۰٫۰۰۰۰

۱٫۵۶۰۰

شکل ‏۳‑۱۴: منحنی رفتار وابستگی دومتغیره فرکانس طبیعی اساسی نانولوله به ولتاژ استاتیکی اولیه و پارامتر غیرموضعی

فصل چهارم:
بررسی ناپایداری سیستم با حضور ذره جرمی محرک

مقدمه

ارتعاش سازه‌ها تحت بار یا ذره محرک

بارهای محرک تأثیر زیادی روی تنش‌های دینامیکی در سازه‌ها دارند، و باعث ارتعاش شدید آن‌ها به‌ خصوص در سرعت‌های بالا می‌شوند. ویژگی عجیب آن‌ها به خاطر متغیر بودنشان هم در دامنه مکان و هم در بازه زمان است.
اگر چنان تصور شود بار محرک مانند جرم یک جسم در یک مسیر منحنی شکل در حالت کلی روی سازه درحرکت است، و تاثیر آن را با دقت بررسی کنیم، خواهیم دید اثراتش دوگانه خواهد بود: یکی وزن ذره و دیگری اثرات اینرسی‌های جرم روی سازه تغییرشکل یافته است.
اگر فقط اثر وزن درنظرگرفته شود، و جرم بار محرک دربرابر جرم سازه صرف‌نظر ‌شود، محاسبات کرنش‌ها در سازه چندان سخت نیست. این مساله در موارد دیگر پیچیده می‌شود، مثلاً زمانیکه جرم سازه دربرابر جرم بار قابل صرف‌نظر کردن باشد.
ملاحظات و فرض‌های تئوری در بیشتر مراجع، مشابه یافتن کاربردها در محاسبات تنش‌های دینامیکی در ریل‌ها، پل‌های بزرگراه‌ها، پل‌های معلق، کابل‌ها و … هستند.که در آن‌ها خودروی در حال حرکت به شکل یک نقطه جرمی ایده آل درمی‌آید.
با درنظرگرفتن استثنائات بسیار کم، ارتعاشات مواد جامد و المان‌های با ابعاد محدود، فقط در طول دوره بار عرضی ارزیابی می‌شوند. موقعی که بار از سازه جدا می‌شود، سازه شروع به نوسان آزاد می‌کند که این پروسه در چارچوب بحث حاضر قرار نمی‌گیرد[۶۶].

نانوذره محرک در سیستم‌های نانو الکترومکانیک

ویژگی‌های فوق‌العاده نانولوله‌های کربنی، آنها را برای بسیاری از کاربردها در نانوتکنولوژی، نانوبیولوژی، سیستم‌های نانو الکترومکانیک و شاخه‌های علوم مواد و همچنین شاخه‌های پزشکی فراهم ساخته ‌است. در چارچوب زمینه‌های مزبور کاربردهای نانولوله‌های کربنی، معرفی نانو سازه‌های نوینی که نقش آن‌ها می‌تواند انتقال نانو ذرات، مشابه کانال‌های ملکولی برای انتقال اتم‌ها و نانو ذرات خنثی و حتی بررسی امکان حضور آن‌ها در سیستم‌ها باشد. چنانچه با کمک ویژگی‌های حسگرهای نانو الکترومکانیکی شاید بتوان امکان شناسایی ملکول‌های ‌زنده و نانو ذره را در این سیستم‌ها بررسی کرد. در این شرایط، مسأله‌ با حالتی که در آن برهم‌کنش نانولوله‌های کربنی و نانو ذرات محرک وجود دارد مواجه می‌شود[۶۷].

فرضیات لازم جهت مدلسازی مسأله

مسیر حل مسأله و مدل ریاضی آن با فرض‌های زیر همراه است:
۱- رفتار تیر با معادله دیفرانسیل تیر اویلر برنولی توصیف شده و فرض تئوری تغییرشکل کوچک و تئوری تنش غیرمحلی به کار رفته است. سطح مقطع و جرم واحد طول تیر هم ثابت است.
۲- جرم نانو ذره محرک در مقایسه با جرم تیر قابل صرف نظر کردن نیست و فقط اثرات جاذبه یا همان نیرویی وزن نانو ذره را درنظر گرفته می‌شود.
۳- ذره با سرعت ثابت از چپ به راست حرکت می‌کند.
۴- محاسبات برای تیر یکسرگیردار با جابجایی اولیه صفر و شرایط مرزی همگن در تکیه‌گاه‌ها فرض می‌شود. علاوه بر این در لحظه‌ حضور ذره، می‌توان برای تیر در حال نوسان شرایط اولیه سرعت و جابجایی در نظر گرفت.
۵- اثرات اینرسی نانو ذره در حال حرکت و اثرات اصطکاک ذره با تیر در مدلسازی مسأله درنظر گرفته نمی‌شود. بنابراین برای مقدار بی‌نهایت کوچکی از وزن یک جرم نانوذره محرک، از مرتبه پیکو نیوتن و حتی کمتر، انتظار می‌رود نتایج تئوری مدل تیر اویر برنولی حاضر با تنش غیر موضعی بتواند نتایج آزمایشگاهی که در آینده انجام خواهد شد را به درستی پیش‌بینی کند[۶۸-۷۰].
۶- دمپینگ تیر متناسب با سرعت ارتعاش است که از آن صرف‌نظر می‌شود.
۷- با فرض اینکه نوسان پایدار تیر همیشگی است. حتی ذره با جرم وزنی هم‌مقیاس با جرم تیر و سرعت پایین می‌تواند با گذشت زمان زیاد موجب ناپایداری سیستم گردد.
۸- به خاطر قوی بودن اثر نیروی واندروالس در گپ‌های کوچک و نزدیک شدن به صفحه زیرین حین ارتعاش از آن صرف‌نظر شده‌است.

فرموله کردن مسأله

با فرض حرکت ذره روی سوییچ، نیروی وزن ذره در نقش عامل خارجی که با تابع معرفی می‌شود معادله تعادل (‏۲‑۲۹) را به فرم زیر درمی‌آورد:

‏۴‑۱

‏۴‑۲