سیاست های تامین مسکن کم درآمدها در مکزیک
در دهه ۱۹۶۰ همزمان با رشد شهری، تقاضا برای مسکن مقرون­به­صرفه زیاد شده و فقرا در غیاب برنامه مناسب برای مسکن به سوی راه­ حل­های مسکن خودیار شتافتند. در دهه ۱۹۷۰ حکومت مکزیک برنامه یارانه مسکن را در مقیاس وسیع آغاز کرد که توسط بودجه خصوصی- دولتی از جمله بودجه مسکن ملی برای کارگران بخش خصوصی و بودجه مسکن برای کارگران بخش دولتی اجرا می­شدند. این سیاست اگرچه به­تدریج به موفقیت رسید، اما کم­درآمدها اغلب مسکن خود را از طریق مسکن خودیار تامین می­کردند، اگرچه در این زمینه تولید انبوه و مسکن یارانه­ای تا اندازه متحیر کننده ­ای گسترش یافت. در نتیجه، بازار مسکن شهری در دهه ۱۹۷۰ و ۱۹۸۰ تغییرات واضحی در مسکن اجاره­ای نشان داد. در حالی که مسکن اجاره­ای تبدیل به نوع مسلط مسکن برای خانواده­های کم­درآمد شهری شده بود، به واسطه فعالیت­های مسکن خودیار، مالکیت مسکن بسیار مهم­تر بود (Bredenoord & Verkoren, 2010).

تامین مسکن مقرون­به­صرفه برای قشر فقیر به­ ویژه کسانی که تازگی به شهر مهاجرت کرده بودند، به یک چالش تبدیل شده بود. در شروع فرایند شهری شدن، مسکن اجاره­ای بسیار مهم بود. در ابتدا ساختمان­های قدیمی مرکز شهر برای اهداف اجاره­ای استفاده می­شدند. در این زمینه به اصطلاح dvecindades که به طور مخصوصی به هدف اجاره ساخته می­شد بسیار اهمیت داشتند. آن­ها در نزدیکی لبه­های شهرهای مرکزی در بلوک­های یک یا دو طبقه ساخته می­شدند. مساکن ساده­ای که از یک یا دو اتاق کوچک در هر واحد و امکانات بهداشتی عمومی تشکیل می­شدند. در نتیجه مناطق مرکزی مکزیک به مناطق مسکن اجاره­ای مهمی تبدیل شد که مساکن ارزان­قیمت را به گروه ­های کم­درآمد ارائه می­داد. اگرچه توسعه افراطی آن­ها چهره مراکز شهری را بشدت تغییر داد اما بسیاری از این بخش­های اجاره­ای داخلی شهر، هنوز بخش ویژه ساختارهای مسکونی را تشکیل می­ دهند. از دهه ۱۹۶۰ مشخص شد که رشد جمعیت گروه ­های کم­درآمد بیش از ظرفیت بخش اجاره­ای شهری می­باشد. بسیاری از مردم به­دنبال گزینه­ای مقرون­به­صرفه، به ساخت مسکن خودیار روی آوردند و راه­ حل­های مسکن خود را خارج از بازار مسکن رسمی پیدا کردند. بنابراین در مواجهه با کمبود تولید مسکن رسمی، بسیاری از شهرداری ­ها سیاست­هایی را که در سازگاری با مسکن خودیار قرار داشتند، توسعه دادند. به تدریج بسیاری از این خانه­ها رسمی شدند و سرویس­های مختلفی از جمله برق، آب و جاده­های آسفالت شده و حمل­ونقل عمومی و مدارس و … به آن­ها ارائه شد. به­منظور دستیابی به امنیت بیشتر حق تصدی و سطوح خدماتی قابل قبول­تر، ساکنین منازل خودیار، با مشارکت در برخی جنبش­ها، سیستم سیاسی شهرداری را تحت فشار قرار دادند. بنابراین سند رسمی ارائه و ارتقاء تدریجی مسکن به دنبال رویکرد پله­به­پله ممکن شد. با توجه به شرایط مالی خانواده، آن­ها می­توانستند مسکن خود را با مصالح ساختمانی بهتر، اتاق­ها و طبقات بیشتر و غیره گسترش دهند. در نتیجه در یک فرایند ۵ تا ۱۵ ساله تعداد وسیعی از خانه­ها در این نوع سکونتگاه­ها بهبود پیدا کردند (همان).
بین دهه­های ۱۹۷۰ و ۱۹۸۰ مسکن خودیار بهترین راه برای تولید مسکن در شهرهای بزرگ مکزیک بود و برای بهبود مسکن کافی و مقرون­به­صرفه کم­درآمدها امری ضروری بود. از آن به بعد اگرچه مسکن خودیار کم­رنگ­تر شد اما همچنان برای فقرای شهری بهترین راه­حل مسکن به­شمار می­رود (همان) چراکه در مکزیک مردم کم و متوسط­درآمد به طور سنتی خانه خود را بدون کمک­های فنی، مانند معماران و مهندسان در مرحله طراحی­ و ساخت، می­سازند. عواملی که پشت این قضیه هستند عبارتند از ۱٫ عوامل اقتصادی ۲٫ مهندسین نسبت به بازارهای مسکن کم و متوسط­درآمدها محطاتانه عمل می­ کنند. آنها اغلب تمایل به بازار­های با سوددهی بیشتر از جمله ساخت­وساز برای افراد با درآمد بالا دارند. ۳٫ و مهم‌ترین نکته اینکه مردم می­دانند چگونه باید خانه بسازند. آن­ها از ایده­های ذهنی خود بهره گرفته و بعد از کشمکش زیاد در طولانی­مدت، آن­ها مسکن خود را بر اساس نیازها و خواسته­ های واقعی مسکن­شان می­سازند (Noguchi & Hernandez-Velasco, 2005) تا جایی که دوسوم بازار مسکن مکزیک و حدود نیمی از مساکن جدید فعلی دولت به فعالیت­های مسکن خودیار مربوط می­شوند (Bredenoord & Verkoren, 2010).
بررسی سیاست­های تامین مسکن کم­درآمدها در هند
تعدادی از این برنامه­ ها شامل ارتقاء و توسعه سکونتگاه­ها، تخصیص زمین به فقرا در قالب پرژه­های مکان و خدمات، سکونت­گاه­های شبانه، بهبود محیط زیست زاغه­های شهری، برنامه مسکن EWS-LIG؛ VAMBAY؛ برنامه مسکن میلیونی^[۷۴]و غیره بودند. به‌منظور تسهیل اجرای این برنامه­ ها، مکانیزم­ های سازمانی شامل انجمن­های مسکن و توسعه قدرت­های محلی در سطح شهر و استان انجام شدند. موسسه توسعه شهر و مسکن در سال ۱۹۷۰ به‌منظور در دسترس قرار دادن نرخ یارانه برای برنامه ­های مسکنی که شامل فقرا می­شدند تاسیس شد (Wadhwa, 2009).
برنامه ­های یارانه مسکن برای فقرا
در سال­های اولیه استقلال هند، برنامه ­های بلند پروازانه­ای برای تامین مسکن فقرا مطرح شد. تحت برنامه ­های اجاره­ای، پیشنهاد تامین مسکن دو خوابه برای فقرا با اجاره­هایی که به آن­ها یارانه تعلق می­گرفت مطرح شد. تفاوت زیاد میان قیمت بازار و اجاره قابل‌پرداخت به‌عنوان مشوقی برای فروش حق مالکیت به شمار می­رفت. بسیاری از مساکن در چند سال اولیه دست به دست می­شد. این برنامه به دلیل مقدار زیاد سوبسید چندان موفق نبود. هزینه­ های نگهداری بسیار بالاتر از اجاره بودند. بسیاری از مشترکین این نوع مسکن حتی در پرداخت اجاره پایین نیز مشکل داشتند. به­ دلیل عدم توانایی در متحمل شدن بار سنگین یارانه، این برنامه کنار گذاشته شد و واحدهای موجود به ساکنین آن­ها فروخته شدند. در تامین مسکن بر پایه مالکیت نیز همین اتفاق رخ داد. بنابراین امکان تامین یارانه مسکن برای همه فقرا از طرف دولت امکان­ پذیر نبود. برنامه بعدی در رابطه با کمک مالی صلیبی^[۷۵]صورت گرفت که در آن بار کمک مالی برای بخش فقیر، توسط اقشار میان و پردرآمد تحمل می­شد. حکومت­های استانی برنامه ­های مسکن مختلط، شامل مسکن برای همه گروه ­های درآمدی را شروع کردند. مسکن برای گروه ­های مختلف درآمدی در سایزهای کوچک و ویژگی‌های کیفی پایین برای EWS-LIG ها در مقایسه با آن­هایی که برای گروه ­های میان و پر­درآمد بود، ساخته شد. موفقیت چنین برنامه­ای به تعداد واحدهای مسکونی ساخته شده برای گروه ­های مختلف درآمدی، سهم یارانه مورد نیاز برای مسکن EWS-LIG و قیمت عملی برای واحدهای مسکونی MIG-HIG بستگی داشت. با توجه به این حقیقت که نیاز به واحدهای مسکونی EWS-LIG بیشتر است، و یارانه مورد نیاز هر واحد نیز بیشتر است، مسکن MIG-HIG به مقدار بیشتری قیمت­ گذاری می­شد. این قیمت زیاد، تقاضا برای چنین مسکنی را کاهش می­داد. مقام­های مسئول تصمیم به ساخت تعداد بیشتری واحدهای MIG-HIG کردند تا از این طریق یارانه بیشتری برای EWS-LIG داشته باشند، اما با وجود این، نیاز فقرا پاسخ داده نمی­شد. همچنین مقدار یارانه برای هر واحد MIG-HIG (محاسبه تفاوت میان قیمت بازار و قیمتی که توسط مشترکین پرداخت می­شد) بیش­تر از EWS-LIG بود. در برخی حالات یارانه برای EWS-LIG به خاطر هزینه احیای ملک بسیار بیشتر می­شد. هزینه احیا در برخی حالات بالای ۸% بود تا جایی که بسیاری از انجمن­های مسکن و متصدیان، توسعه ساخت­وساز برای EWS-LIG را ترک کردند (Wadhwa, 2009).
سیاست تامین مسکن کم­درآمدها در اوگاندا^[۷۶]
کمبود روزافزون مسکن در اوگاندا پایتخت کامپالا موفقیت­های اخیر اقتصادی را تهدید نموده و بافت اجتماعی را بی­ثبات نموده است. حکومت و شرکت­های خصوصی که در زمینه ساخت مسکن فعالیت می­نمایند، تنها واحدهایی که برای اقلیت ثروتمند و سرآمد قابل پرداخت هستند را ارائه می­ دهند. در حالی که بیشتر ساکنین کامپالا را کم‌درآمدهایی تشکیل می­ دهند که در زاغه­ها و سکونتگاه­های غیررسمی و بدون برنامه­ ریزی ساکن هستند. افزایش روزافزون قیمت زمین، هزینه­ های نامعقول زیرساخت­ها و فقدان مکانیزم سرمایه ­گذاری در خانه­های قابل­ پرداخت مانعی برای دستیابی اکثر ساکنان شهر به مساکن قابل‌پرداخت و ارزان­قیمت هستند. این مولفه­ها زمینه را جهت ورود بخش خصوصی به بازار مسکن کم­درآمدها آماده نمودند. به این منظور مزایایی برای ورود بخش خصوصی به این بازار ارائه شد از جمله، شرکت­هایی که مساکن ساده و طراحی شده برای خانوارهای کم­درآمد ارائه می­دادند، در مالیات­شان شامل تخفیف می­شدند. مشارکت این شرکت­ها در امر تامین مسکن اقشار کم­درآمد نیاز حکومت را در جهت تسکین فشارهای اجتماعی و سیاسی برای بهبود عملکرد بخش مسکن محلی در اوگاندا در تمامی سطوح درآمدی خانوارها، مرتفع می­نمود. مشارکت این شرکت­ها و برنامه ­های مردم­نهاد می ­تواند شبکه خدماتی را در راستای کاهش خطراتی که خانوارهای کم­درآمد را تهدید می­ کنند، تشکیل دهد. تامین مسکن محلی در تمامی سطوح درآمدی خانوارها در صورتی ممکن می­ شود که سه رکن اصلی چرخه مسکن ارزان­قیمت که شامل :۱-مشوق­ها و محرک­های توسعه عمومی و خصوصی،۲- برنامه ­های آموزش و تعلیم جامعه و ۳- تولیدات رهنی متناسب با خانوارهای کم­درآمد می­شوند، اجرا شوند. در این شرایط شرکت­های خصوصی به نسبت اینکه ظرفیت­های شغلی را افزایش می­ دهند می­توانند سودهای زیادی را نیز کسب نمایند. این استراتژی می ­تواند خانواده­های فقیر را از زاغه­ها به مساکن مناسب انتقال دهد و مالیات­هایی در جهت کارآفرینی و اشتغال برای افرادی که در دام فقر افتاده­اند ارائه دهند (mayer, 2011).
بررسی کلی سیاست­های تامین مسکن کم­درآمدها در کشورهای توسعه یافته
مسکن در کشورهای توسعه یافته در وحله اول از طریق بازار تامین می­ شود. اگرچه بازارهای مسکن ناقص و ناتمام هستند، شکست بازار منجر به حمایت ناکافی و شرایط ضعیف مسکن بویژه برای خانوارهای کم­درآمد در کشورهای سرمایه­داری می­ شود (Berry, 2012). در بسیاری از کشورهای توسعه ­یافته، سیاست مسکن در راستای کمک به نیازهایی که در بازار پاسخ داده نمی­شوند، اتخاذ می­شوند (Smith J. , 2012).
برای مثال کشور سوئد با وجود احداث مساکن عمومی در سطح وسیع، رشد سازمان­های غیرانتفاعی مسکن، که عمدتا از طریق یارانه­های دولتی و تعامل با اتحادیه ­های کارگری تامین مالی می­شدند را نیز حمایت می­کرد (Berry, 2012).
هلند سازمان مسکن بزرگی را تشکیل داد که ابتدا توسط یارانه­های حکومت مرکزی و وام­هایی که نهایتا در یک اقدام ناگهانی بخشیده می­شدند حمایت می­شدند. این بخش به پشتوانه ضمانت­های دولتی ماندگار شد و توانست با افزایش وام مسکن خصوصی، توسعه یابد (همان).
سیاست­های سوئیس و استرالیا از جنگ جهانی دوم شروع شد و دسترسی سازمان­های غیر انتفاعی را به سرمایه ­های خصوصی برای تامین مسکن خانواده­های کم­درآمد در اجاره­های پایین­تر از بازار تسهیل بخشید (همان).
اصلاحات سیاسی مسکن در انگلیس از اوایل دهه ۱۹۸۰ از مسکن عمومی به رشد مالکیت مسکن و بخش انجمن مسکن تغییر یافت. اصلی­ترین مداخلات سیاسی حق خرید و انتقال مسکن عمومی از حکومت محلی به سازمان­های مسکن بودند (همان).
آلمان و استرالیا شاهد توسعه بخش خصوصی اجاره مسکن بودند که اوایل توسط حفاظت نظارتی و بعدها مشوق­های مالیاتی (شامل معافیت مالیاتی از وام بهره مسکن، کمک هزینه­ های سرمایه ­گذاری و …)حمایت می­شدند (همان).
سیاست­های تامین مسکن کم­درآمدها در کشورهای عضو اتحادیه اروپا
تجربه کشورهای عضو اتحادیه اروپا نشان می­دهد که بازارهای مسکن تحت تاثیر عوامل زیر، ناکارآمد و از حالت تعادل خارج می­شوند. اجتناب از این عوامل و برنامه­ ریزی برای رویارویی و کنترل آن­ها از جمله اهداف برنامه­ ریزی مسکن در کشورهای مذبور می­باشد:

• • کاهش کمک­های دولت مرکزی نسبت به دولت­های محلی جهت پشتیبانی از تولید و نوسازی واحدهای مسکونی موجب کاهش عرضه و افزایش قیمت­ها شده است؛

• • قدرت خرید پایین و عدم حمایت از گروه ­های کم­درآمد و عرضه کم واحدهای مسکونی؛

• • افزایش مستمر هزینه­ های تولید به دلیل افزایش هزینه­ های عمومی از قبیل مصالح ساختمانی و سوخت، در دسترس نبودن نیروی کار؛

• • ضعف و کاستی­های دولت در حمایت از تولید مسکن، تاثیر منفی اقدامات مربوط به کنترل اجاره به دلیل عدم رغبت و دخالت بخش خصوصی نسبت به تولید واحدهای اجاره­ای؛

• • عدم پشتیبانی از تقاضای خرید گروه ­های کم­درآمد؛

• • تورم بالا، کمبود و ضعف دانش فنی در تولید مسکن، کمبود زمین برای توسعه خدمات در نواحی با تقاضای بالا؛

• • عدم تامین مسکن اجاره­ای کافی برای پاسخگویی به تقاضای موجود؛

• • ضعف و نقص سیستم مالی، قانونی، افزایش توسعه و ساخت­وساز نواحی غیر مسکونی نسبت به مسکونی؛

• • رکود اقتصادی، موجب کاهش تمایل به سرمایه ­گذاری در بخش مسکن شده است؛

• • قیمت بالای زمین، کمبود زمین، بورکراسی بیش از حد در ارتباط با ساخت­وساز؛

• • هزینه بالای مصالح ساختمان ناشی از انحصار و وضع تعرفه­های بالا بر واردات آن­ها، عرضه ناکافی زمین در مناطق شهر؛

• • زمین ناکافی در شهرها؛

در شرایطی که بازارها با مشکل روبه­رو می­شوند، دولت­های عضو اتحادیه اروپا از سیاست­های زیر برای ایجاد تعادل و کنترل تاثیرات منفی مشکلات آن استفاده ­می­ کنند:

• • اعطای کمک­های مالی اتحادیه اروپا برای تولید مسکن اجتماعی و برنامه ­های نوسازی؛

• • برنامه ­های ملی اقدام علیه فقر و محرومیت؛

• • تامین مالی برنامه ­های مسکن؛

• • بازنگری در قوانین؛

• • تغییر نرخ مالیات بر ارزش افزوده مصالح ساختمانی و افزایش مالیات بر ارزش افزوده زمین­های درحال توسعه (حسینلو, ۱۳۹۰).

در این کشورها توجه به تامین مسکن گروه ­های کم­درآمد در سایه تغییرات جمعیتی و فشارهای اقتصادی و تمایل دولت­ها به­منظور کاهش مشکلات و مبارزه با افزایش نیاز به مسکن، صورت گرفته است. رژیم­های مالی متفاوت، گونه­ های مختلفی از مسکن گروه ­های کم­درآمد(مسکن عمومی و …) را در این کشورها ارائه می­ دهند که اغلب توسط حکومت­های محلی به­منظور استفاده بهتر از دارایی­ های عمومی و با بهره گرفتن از زمین­های دولتی صورت می­گیرد، سعی بر این است که قابلیت ­های عمومی با دارایی­ های بخش خصوصی ترکیب شوند؛ بدین معنا که صندوق­های تامین اجتماعی با سرمایه ­گذاری بخش خصوصی، تبدیل به مهم‌ترین عامل دخیل در تامین و تولید مسکن ­گروه ­های کم­­درآمد شده ­اند (همان).
بررسی نحوه اجرا و مدیریت مسکن گروه ­های کم­درآمد شهری در سیستم برنامه­ ریزی مسکن کشورهای عضو اتحادیه اروپا
در این کشورها، تامین، تولید و اداره مسکن گروه ­های کم­درآمد با حکومت­های محلی می­باشد. در سال­های اخیر، روند کلی به سمت کاهش دخالت شهرداری ­ها و افزایش طیف وسیعی از بازیگران درگیر در تامین مسکن گروه ­های کم­درآمد بویژه مشارکت بخش دولتی و خصوصی بوده است. دولت مرکزی معمولا قوانین عمومی در مورد شرایط و الزامات زندگی در مسکن گروه ­های کم­درآمد را تعیین می­ کند و دولت­های محلی نیز بررسی شرایط متقاضیان و اختصاص مسکن مناسب به ­آن­ها را برعهده دارند (حسینلو, ۱۳۹۰).
نهادهای موثر در تصمیم ­گیری برای مسکن عمومی ملی هستند و در طول ۲۰ سال گذشته در تعدادی از کشورها، سطوح تصمیم ­گیری از ملی به محلی انتقال پیدا کرده است. این اتفاق به علت تصویب قوانین در رابطه با افزایش مشارکت و اتخاذ رویه­های دموکراتیک­تر در شهرها روی داده است (همان).
سیاست­های تامین مسکن کم­درآمدها در ایالات متحده آمریکا
در طول قرن بیستم، به‌وقوع پیوستن چهار بحران، منجر شد حکومت ایالات­متحده برنامه ­های بزرگ‌مقیاس مسکن را برای گروه ­های کم و متوسط­درآمد آغاز کند (Hoffman, 2012).
سیاست­های مسکن در بحران بزرگ اقتصادی
رکود اقتصادی^[۷۷]بدترین شرایط اقتصادی بود که ایالات­متحده با آن روبرو شد. عملا زوال اقتصادی اولین ضربه را به بخش مسکن وارد می­ کند. بنابراین رئیس‌جمهوران در این دوره سعی بر برپایی ساختار دولتی کردند که بتواند مشکل مسکن را حل کند. بیشترین تلاش­ها در این دوره به‌منظور تقویت صنایع بخش خصوصی به‌ویژه سازمان­های مالی که آن­ها را حمایت کنند صورت گرفت. اما در طول ریاست جمهوری ­ Roosevelt تلاش کم، اما ویژه­ای در راستای خدمت به فقرا صورت گرفت (Hoffman, 2012).
در این دوران ساخت مسکن عمومی به­عنوان یکی از سیاست­های تامین مسکن اقشارکم­درآمد مطرح شد. مسکن عمومی تلاشی برای ساخت یک برنامه مسکن طولانی‌مدت برای کم­درآمدها و ایجاد این پیش­درآمد که حکومت برای کم­درآمدها به تامین خانه پرداخته است، می­باشد (همان).

جدول۳-۳ مقایسه جواب‌های تحلیلی و عددی انرژی حالت پایه نقطه کوانتومی کروی
پله‌ای برای شعاع های مختلف ۲۵

 ۲۹
جدول ۵-۱ تاثیر پتانسیل محدودکننده بر ترازهای انرژی، تغییرات ضریب جذب
و ضریب شکست ۶۳
فهرست شکل­ها
عنوان صفحه
شکل‏۱–۱ نمایی ساده ازیک چاه کوانتومی(چپ) ونموداری تقریبی از چگالی حالت‌های
چاه کوانتومی(راست( ۵
شکل‏۱–۳ نمایی ساده از یک نقطه کوانتومی(چپ) و نموداری تقریبی از چگالی
حالت‌های نقطه کوانتومی(راست( ۷
شکل‏۲–۱ نمایی ازشبکه بندی هندسه در نرم افزار کامسول ۱۵
شکل‏۲–۲نمایی از نمودارهای سه بعدی. ازابزارهای نرم افزار کامسول برای رسم و
پردازش داده‌ها ۱۶
شکل‏۳–۱ وابستگی انرژی حالت پایه نقطه کوانتومی کروی پله‌ای به شعاع ۲۶
شکل‏۳–۲ توابع پتانسیل گاوسی،کسری،Pöschl Teller ومورس و پله‌ای ۲۸
برحسب فاصله از مرکز ۲۸
شکل‏۵–۱ تغییرات ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی از انرژی فرودی ۵۲
شکل ‏۵–۲ تغییرات ضرایب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی از انرژی فرودی ۵۳
شکل‏۵–۳ تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی و شدت نور فرودی ۵۳
شکل‏۵–۴ تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی و شدت نور فرودی ۵۴
عنوان صفحه
شکل‏۵–۵ ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومی باپتانسیل
Pöschl Teller به صورت تابع از انرژی فوتون فرودی ۵۵
شکل‏۵–۶ تغییرات ضریب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم وکل نقطه کوانتومی
با پتانسیل Pöschl Teller به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی ۵۵
شکل‏۵–۷ تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل Pöschl Teller به صورت
تابعی از انرژی فرودی و شدت نور فرودی ۵۶
شکل‏۵–۸ تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل Pöschl Teller به صورت تابعی از نرژی فرودی و شدت نور فرودی ۵۶
شکل‏۵–۹ تغییرات ضریب جذب خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی با
پتانسیل کسری به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی ۵۷
شکل‏۵–۱۰ تغییرات ضریب شکست خطی، غیرخطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل کسری به صورت تابعی از انرژی فرودی ۵۸
شکل ۵-۱۱ تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل کسری به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی ۵۹
شکل ۵-۱۲ تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل کسری به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی ۵۹
شکل ۵-۱۳ تغییرات ضریب جذب خطی ، غیر خطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل مورس به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی ۶۰
شکل ۵-۱۴ تغییرات ضریب شکست خطی ، غیر خطی مرتبه سوم و کل نقطه کوانتومی
با پتانسیل مورس به صورت تابعی از انرژی فوتون فرودی ۶۱
شکل ۵-۱۵ تغییرات ضریب جذب کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی ۶۲
شکل۵-۱۶ تغییرات ضریب شکست کل نقطه کوانتومی با پتانسیل گاوسی به صورت تابعی
از انرژی فرودی وشدت نور فرودی ۶۲
فصل اول

مقدمه‌

جدول۴-۷۰: جدول آزمون فرضیه بررسی رابطه میان بی طرفی رسانه های دولتی و استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۰۸
جدول۴-۷۱: نتایج آزمون خی دو جهت بررسی رابطه بین بی طرفی رسانه های دولتی و استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۰۸
جدول۴-۷۲: نتایج آزمون خی دو ۲۰۹
جدول۴-۷۳: جدول آزمون فرضیه بررسی رابطه میان سن و میزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۰
جدول۴-۷۴: نتایج آزمون خی دو جهت بررسی رابطه بین سن و میزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۰
جدول۴-۷۵:جدولآزمونفرضیهبررسیرابطهمیان جنسیتومیزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۱
جدول۴-۷۶: نتایج آزمون خی دو جهت بررسی رابطه بین جنسیت و میزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۱
جدول۴-۷۷: جدول آزمون فرضیه بررسی رابطه میان تحصیلات و میزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۲
جدول۴-۷۸: نتایج آزمون خی دو جهت بررسی رابطه بین تحصیلات و میزان استفاده از شبکه های اجتماعی ۲۱۲
فهرست مطالب
عنوان صفحه
نمودار شماره ۱ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب جنسیت ۱۴۱
نمودار شماره ۲ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب سن ۱۴۲
نمودار شماره ۳ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب تحصیلات ۱۴۳
نمودار شماره ۴ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب رشته تحصیلی ۱۴۴
نمودار شماره ۵ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب شغل تخصصی ۱۴۵
نمودار شماره ۶ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان استفاده از اینترنت ۱۴۶
نمودار شماره ۷ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب استفاده از سایت ۱۴۷
نمودار شماره ۸ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان استفاده از فیس بوک ۱۴۸
نمودار شماره ۹ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب مدت زمان عضویت در فیس بوک ۱۴۹
نمودار شماره ۱۰ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر امکان گذاشتن متن، صدا، فیلم و عکس در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۰
نمودار شماره ۱۱ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان ساخت آلبوم عکس در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۱
نمودار شماره ۱۲ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان ایجاد کردن گروه در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۲
نمودار شماره ۱۳ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان طرفدار شدن در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۳
نمودار شماره ۱۴ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان اطلاع رسانی نظرات در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۴
نمودار شماره ۱۵ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان اعلام دوستان مشترک در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۵
نمودار شماره ۱۶ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان ایجاد شبکه اجتماعی در فیس بوک در افزایش مخاطب و کاربر ۱۵۶
نمودار شماره ۱۷ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان انتقال سریع اخبار و اطلاعات در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۵۷
نمودار شماره ۱۸ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر قدرت مقابله با سانسور و انسداد خبری در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۵۸
نمودار شماره ۱۹ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر قدرت اقناع سازی بدلیل چند رسانه ای بودن در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۵۹
نمودار شماره ۲۰ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان به اشتراک گذاشتن عقاید و ایده ها در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۶۰
نمودار شماره ۲۱ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان ارتباطات جمعی و قابلیت شبکه‌سازی در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۶۱
نمودار شماره ۲۲ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان تقویت ارتباطات خصوصی و عاطفی و دوستیابی در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۶۲
نمودار شماره ۲۳ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان دسترسی آسان و مجدد به اخبار و اطلاعات در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۶۳
نمودار شماره ۲۴ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان تأثیر داشتن امکان بهره مندی از سرگرمی و سایر تفریحات در فیس بوک بر گسترش تعداد مخاطبین آن ۱۶۴
نمودار شماره ۲۵ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان موفقیت فیس بوک نسبت به سایر رسانه ها با افزایش مشارکت و تهییج افکار عمومی و ایجاد حرکت های جمعی و جریان سازی اجتماعی ۱۶۵
نمودار شماره ۲۶ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان موفقیت فیس بوک نسبت به سایر رسانه ها با امکان مشارکت همگانی در تولید و انتشار اخبار و اطلاعات ۱۶۶
نمودار شماره ۲۷ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان موفقیت فیس بوک نسبت به سایر رسانه ها با ایجاد همگرایی در افکار و اندیشه ها و ایجاد فضای عمومی ۱۶۷
نمودار شماره ۲۸ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان موفقیت فیس بوک نسبت به سایر رسانه ها با شکستن انحصار رسانه های جمعی ۱۶۸
نمودار شماره ۲۹ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان موفقیت فیس بوک نسبت به سایر رسانه ها با به اشتراک گذاشتن ایده ها و خلق ایده های جدید ۱۶۹
نمودار شماره ۳۰ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب فراهم کردن امکان شکل گیری اجتماع و یا توده در فضای متکثر اطلاعات و اخبار به واسطه فیس بوک ۱۷۰
نمودار شماره ۳۱ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب فراهم کردن امکان جریان گفتگو و مفاهمه به دور از فشار و در شرایط آزادانه و آگاهانه برای شهروندان به واسطه فیس بوک ۱۷۱

نمودار شماره ۳۲ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب میزان بی طرف بودن رسانه های دولتی ۱۷۲
نمودار شماره ۳۳ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن اولیا و مربیان ۱۷۳
نمودار شماره ۳۴ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن اسلامی ۱۷۴
نمودار شماره ۳۵ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن ورزشی و تفریحی ۱۷۵
نمودار شماره ۳۶ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن علمی- تخصصی ۱۷۶
نمودار شماره ۳۷ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن صنفی ۱۷۷
نمودار شماره ۳۸ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن محلی ۱۷۸
نمودار شماره ۳۹ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در حزب و تشکل سیاسی رسمی کشور ۱۷۹
نمودار شماره ۴۰ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در سازمان های غیر دولتی ۱۸۰
نمودار شماره ۴۱ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در انجمن های خیریه ای ۱۸۱
نمودار شماره ۴۲ توزیع درصدی پاسخگویان بر حسب عضویت در بسیج ۱۸۲

شکل ۲-۳ نتایج‌شبیه‌سازی سیاست مدیریت‌ درست زمان‌بندی ۱۴
شکل۲-۴ اهداف زمان‌بندی گردش کاری ۱۶
شکل ۲-۵ مروری بر گردش کاری زمان ‌بند ۲۶
شکل ۳-۱ نحوه ارزیابی شایستگی در چرخ رولت ۳۶
شکل ۳-۲ یک نمونه تلفیق (آمیزش) ۳۷
یک کروموزوم قبل و بعد از اعمال عملگر جهش ۳۷
شکل ۳-۴ کد برنامه مجازی الگوریتم ژنتیک ساده و فلوچارت آن ۳۸
شکل ۳-۵ نحوه ارزیابی تابع شایستگی در چرخ رولت ۳۹
شکل ۳-۶: شمای کلی الگوریتم رقابت استعماری ۴۲
شکل ‏۳‑۷: حرکت مستعمرات به سمت امپریالیست (سیاست جذب) ۴۲
شکل ۳-۸ : شمای کلی رقابت استعماری ۴۳
شکل ۳-۹ مثالی از مسئله زمان‌بندی با ۹ وظیفه و ۳ منبع ۴۴
شکل ۳-۱۰ : وضعیت نهایی الگوریتم ICA و ترکیبی ۴۶
شکل ۳-۱۱ – تغییراتی که در حرکت مستعمره ها به سمت استعمارگرها ایجاد می شوند. ۴۷
شکل ۳-۱۲ فرایند تعویض امپریالیستها و کشورهای مستقل ۴۸
شکل ۳-۱۳: شمای کلی رقابت استعماری: امپراطوری‌های بزرگ‌تر، با احتمال بیشتری، مستعمرات امپراطوری‌های دیگر را تصاحب می‌کنند. ۴۹
شکل ۳-۱۴: سقوط امپراطوری‌ ضعیف؛ امپراطوری شماره ۴، به علت از دست دادن کلیه مستعمراتش، دیگر قدرتی برای رقابت ندارد و باید از میان بقیه امپراطوری‌ها حذف شود. ۵۱

شکل ۴-۱ زمان برگشت برای الگوریتمهای مختلف ۵۸
شکل ۴-۲ زمان برگشت برای حالت (۱۰ و ۲۰۰ و ۵۰ ) و تکرارهای ۱۰۰ و ۲۰۰ و ۳۰۰ ۵۹
شکل ۴-۳ زمان اجرا برای حالت (۱۰ و ۲۰۰ و ۵۰ ) و تکرارهای ۱۰۰ و ۲۰۰ و ۳۰۰ ۶۰
شکل ۴-۴ زمان های اجرا برای ۵۰ وظیفه با ۳۰۰ تکرار ۶۰
شکل ۴-۵ زمان برگشت برای وظایف متنوع جمعیت ۵۰ تا تکرار ۱۰۰ بار و تعداد منابع ۱۰ تا ۶۱
فهرست جداول
عنوان شماره صفحه
جدول ۳-۱ تنظیم نرخ تحول ۴۷
جدول ۴-۱ تنظیمات ده منبع پردازشی نمونه ۵۴
جدول ۴-۲ مقادیر تعیین شده برای الگوریتمها ۵۴
جدول ۴-۳ ارزیابی مقادیر زمان برگشت ۵۶
جدول ۴-۴ ارزیابی زمان های اجرای الگوریتمها ۵۷
چکیده
گرید محاسباتی به معنای همکاری منابع توزیع‌شده جغرافیایی در حل مسائل بزرگ می‌باشد. زمان‌بندی در گرید محاسباتی برای انواع سیستم‌هایی که به عنوان سیستم‌های دفاعی و امنیتی هستند و موبایل و سیستم‌های آزمایشگاهی پزشکی که متمرکز نیستند، از اهمیت بالایی برخوردار است. از الگوریتم‌های قطعی برای بالا بردن کیفیت زمان‌بندی نمی‌توان استفاده کرد زیرا زمان‌بندی در گرید محاسباتی یک مسئله غیرقطعی است. الگوریتم ژنتیک، رقابت استعماری، ازدحام ذرات، تپه نوردی از روش‌های غیرقطعی در بهبود زمان‌بندی در گرید می‌باشند. در این تحقیق با مقایسه کردن و بررسی الگوریتم‌های ذکرشده مزایا و معایب آن‌ها اقدام به ادغام و ترکیب نقاط قوت این الگوریتم‌ها بر پایه الگوریتم رقابت استعماری استفاده نموده‌ایم. زمان‌بندی وظایف مسئله‌ای مستقل است که شامل n وظیفه و m ماشین می‌باشد و هر وظیفه باید با هر یک از ماشین‌ها مورد پردازش قرار بگیرد طوری که زمان انجام کار کمینه شود. الگوریتم رقابت استعماری پایه برای مقادیر حقیقی و فضاهای پیوسته تعریف‌شده است درصورتی‌که زمان‌بندی وظایف گسسته باشد، بدین منظور الگوریتم رقابت استعماری را با الگوریتم‌های ژنتیک و ازدحام ذرات، ترکیب نموده‌ایم و به حالت فضای گسسته مبدل کردیم.الگوریتم ترکیبی را با افزودن گروهی به نام کشورهای مستقل بررسی کردیم. علی‌رغم ایده اصلی الگوریتم رقابت استعماری که مبتنی بر استعمارگر و کلونی (مستعمره) است، یک گروه از کشورهای بی‌طرف و صلح‌آمیز در اینجا در نظر گرفته‌شده‌اند. این کشورها متحده هستند و با بهره گرفتن از هوش ازدحامی با همدیگر ارتباط برقرار می‌کنند.
کلمات کلیدی:
گریدهای محاسباتی، زمان‌بندی وظایف مستقل، الگوریتم‌های تکاملی، رقابت استعماری، الگوریتم ترکیبی
فصل اول: کلیات تحقیق
در ابتدای این فصل انگیزه و هدف از این پایان‌نامه ارائه می‌شود، بعدازآن روش مورداستفاده در این پایان‌نامه، توضیح داده خواهد شد، سرانجام یک نمای کلی از ساختار پایان‌نامه ارائه خواهد شد.
مقدمه
محاسبات گرید در اکثر موارد به عنوان فناوری شناسایی پتانسیل عظیم در دانش صنعت معرفی و موردتوجه قرارگرفته است. الگوی سیر تکاملی در فناوری گرید، بسیار شبیه به رشد و تکامل فناوری‌های اینترنت که در اوایل ۱۹۰۰ رخ داد و همچنین مشابه با اینترنت فناوری‌های محاسبات گرید ابتدایی در دانشگاه‌ها و آزمایشگاه‌های تحقیقاتی توسعه‌یافته‌ای که مسائل تحقیقاتی منحصربه‌فرد را حل می‌کردند و امکان تشریک‌مساعی میان پژوهشگران مختلف را داشتند، می‌باشد. اخیراٌ صنایعی که محاسبات سطح بالا دارند به‌طور مثال: امور مالی، انرژی، خودروسازی و … علاقه شدیدی به توان ارتباط برقرار کردن خودکار، خوشه‌های درون یک سازمان و گرید تجاری نشان می‌دهند. اکنون محاسبات گرید در میان استنتاج کردن استانداردها، ارث‌بری از تکنولوژی‌های توسعه‌یافته در محاسبات با کارایی بالا، توزیع‌شده و اخیراً نیز از انجمن سرویس‌های وب می‌باشد. به علت عدم گستردگی و سازگاری استانداردهای استفاده‌شده، بسیاری از سازمان‌های تجاری درباره پیاده‌سازی یک سیستم گرید تجاری نگرانی‌هایی دارند، اگرچه توان این‌چنین سیستم‌هایی ثابت‌شده است. حتی زمانی که بعضی از سازمان‌های تجاری، گرید را به عنوان یک‌راه حل ممکن در نظر گرفتند، موضوعات و مسائل بسیاری آن‌ها را مجبور به تجدیدنظر نمود. موضوعاتی مربوط به مهندسی برنامه کاربردی، قابلیت اداره، مدیریت داده‌ها، مجوز دهی، امنیت، زمان‌بندی و … آن‌ها را از پیاده‌سازی یک‌راه حل گرید تجاری بازداشته‌اند. از دید علم فناوری، محاسبات گرید توانی فراتر از صنایع محاسباتی با کارایی بالا دارد و این امر به دلیل رفتار ذاتی همکاری کننده، مستقل و سرویس مبتنی بر سود می‌باشد. برای میسر شدن این سیر تکاملی، تمامی موضوعات مطرح‌شده در بالا، باید حل شوند.هرکدام از موضوعات مطرح‌شده در بالا مانند مبحث زمان‌بندی مهم هستند و باید به‌دقت موردبررسی قرار گیرند. در این تحقیق منحصراً بر روی مسائل مربوط به زمان‌بندی فرآیندها در گرید تمرکز خواهیم کرد.
در جهت افزایش کارایی گرید، در حل مسئله ما به یک زمان‌بندی کارآمد نیاز داریم. اگرچه طبیعت پویای منابع گرید و تقاضاهای مختلف کاربران، باعث پیچیدگی مسئله زمان‌بندی گریدهای محاسباتی شده است. پویایی کارایی منابع، ناشی از ناهمگونی، اشتراکی بودن و خودمختاری منابع گرید است. هدف ما در مسئله زمان‌بندی گرید، انتساب بهینه کارها به منابع است. تحقیق و بررسی در زمان‌بندی گرید ازاین‌جهت مهم است که سیستم‌های دنیای واقعی به‌طور فیزیکی یا عملیاتی، به‌صورت توزیع‌شده و ناهمگون می‌باشند. سیستم‌هایی مانند زیست‌شناسی، نجوم، پزشکی، کنترل ترافیک هوایی، نظامی و همچنین موبایل از این دسته هستند. با الهام گرفتن از یک سری از قوانین طبیعی برای بهبود زمان‌بندی در گرید پیشنهادشده است. ازجمله الگوریتم ژنتیک، رقابت استعماری و ازدحام ذرات می‌باشد. در این تحقیق با معرفی آن‌ها و بیان مزایا و معایب آن اقدام به ترکیب این سه الگوریتم نموده و الگوریتم حاصل را با داده‌های مختلف مورد آزمایش قراردادیم.
۱-۲- بیان مسئله
۱-۲-۱- هدف آرمانی
هدف آرمانی از انجام تحقیق حاضر رفع نسبی مشکلات زمان‌بندی فرآیندها در محیط گرید و همچنین بهبود سرعت از دید کاربران این محیط است. مشکلات زمان‌بندی فرآیندها به دلیل بغرنج بودن چالش بزرگی در محیط‌های گرید محاسباتی می‌باشند که حتماً باید راه‌حلی برای آن‌ها در نظر گرفته شود.
۱-۲-۲- هدف کلی
هدف کلی از انجام تحقیق ارائه روش و راه‌حلی جهت بهینه‌سازی زمان‌بندی فرآیندها در محیط محاسبات گرید می‌باشد.
۱-۲-۳- اهداف ویژه تحقیق
اهداف ویژه تحقیق حاضر عبارت است از
بررسی کلی گریدهای محاسباتی و تاریخچه پیدایش آن
بررسی کاربردهای گریدهای محاسباتی
بررسی مزایا و مشکلات گریدهای محاسباتی
بررسی انواع روش‌های زمان‌بندی فرآیندها در گریدهای محاسباتی
بررسی انواع روش‌های مکاشفه‌ای و الگوریتم‌های تکاملی استفاده‌شده در زمان‌بندی گریدهای محاسباتی

(۴-۱۴)

که  ،  و  ماتریس­های ۲×۲ بوده و به صورت زیر تعریف می­شوند:

(۴-۱۵)

همچنین در رابطه (۴-۱۴) مقادیر زیر بدست می آیند:

(۴-۱۶)

برای حل دستگاه­هایی که ماتریس ضرایب آن­ها سه قطری است و هر عضو ماتریس نیز از یک ماتریس مربعی تشکیل شده، روش حذف سه قطری بلوکی، مورد استفاده قرار می گیرد. برای حل معادله (۴-۱۱)، با جاروب پیشرو داریم:

(۴-۱۷)

حال در جاروب پسرو داریم:

(۴-۱۸)

برای آشنایی بیشتر با این روش می توان به مرجع [۶۳] مراجعه نمود.
۴-۲- روش پرتابی
معادلات دیفرانسیل معمولی بر حسب نوع شرایط موجود به دو دسته تقسیم می­شوند:
الف- مسائل مقدار اولیه
ب- مسائل مقدار مرزی
معادلات دیفرانسیل مرتبه اول به­ دلیل اینکه همواره به یک شرط اولیه نیاز دارند، جزء مسائل مقدار اولیه محسوب می­شوند. ولی معادلات مرتبه دوم و بالاتر می­توانند در هر دو تقسیم بندی قرار گیرند و با توجه به اینکه هر معادله دیفرانسیل از مرتبه n را می توان به یک دستگاه n معادله دیفرانسیل مرتبه اول تبدیل نمود
لذا اگر معادلات دیفرانسیل از نوع مسائل مقدار اولیه باشند توسط یکی از روش های هیون^[۵۷]، اویلر^[۵۸]، اویلر بهبود یافته^[۵۹] و یا رانگ کوتا^[۶۰] بسادگی می­توان جوابهای معادلات را به­دست آورد ولی روش حل معادلات با شرایط سرحدی^[۶۱] کمی مشکل تر است. در ادامه هر یک از روش های ذکر شده به طور مختصر مورد برسی قرار می گیرد.
شاید یکی از ابتدایی ترین روش های عددی حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول، روش اویلر باشد. که امروزه به دلیل متدهای کاراتر کمتر مورد استفاده قرار می­گیرد، اما به لحاظ سادگی کاربردهای مهندسی دارد و برای تخمین جواب اولیه با اندازه گام^[۶۲] کوچک می­توان از آن استفاده کرد. معادله دیفرانسیل مرتبه اول زیر را در نظر بگیرید، هدف پیدا کردن مقادیر تابع y به ازای مقادیر مجزای x می­باشد:

(۴-۱۹)