(۳-۸)
که توابع شکل است و و ، به ترتیب بردارهای جابجایی و شتاب هستند. بردار کرنش به صورت زیر تعریف می­ شود.
(۳-۹)
اگر جابجایی­ها را در عبارت بالا جایگزین کنیم، رابطه زیر بدست می ­آید.
(۳-۱۰)
که ماتریس ، ماتریس کرنش-جابجایی است و ماتریس ، ماتریس عملگر مشتق است که بصورت زیر تعریف می­ شود.
(۳-۱۱)
برای مصالح ایزوتروپیک همگن الاستیک، معادله تشکیل دهنده به صورت زیر است.

(۳-۱۲)
که ، ماتریس الاستیسیته است. حال اگر روابط ۳-۷ تا ۳-۱۲ را در رابطه ۳-۶ جاگذاری کنیم، بعد از کمی ساده سازی به رابطه زیر می­رسیم.
(۳-۱۳)
که
(۳-۱۴) ,
,
در روابط ۳-۱۴ و به ترتیب ماتریس­های سختی و جرم المان، و به ترتیب بردارهای مربوط به نیروی جسم و بارگذاری سطحی هستند. از آنجایی که تغییرات جابجایی ، متغیری دلخواه بوده، معادله حرکت در حوزه زمان به صورت زیر حاصل می­ شود.
(۳-۱۵)
سیستم معادلات حرکت را می­توان برای تمام المان­های مسئله ساخت یا اصطلاحاً مونتاژ کرد.
(۳-۱۶)
که و به ترتیب ماتریس­های سختی و جرم کل سیستم بوده و ، بردار نیروی کل سیستم است. همچنین و به ترتیب بردارهای جابجایی و شتاب کل سیستم هستند.
۳-۳-۲ تعیین جوابهای هارمونیک
در حالت هارمونیک بردار نیروی سیستم به صورت زیر خواهد بود.
(۳-۱۷)
که بزرگی بردار هارمونیک و فرکانس دایره­ای یا زاویه­ای تحریک بار است. فرض می­ شود که سیستم تحت بار هارمونیک، جابجایی­هایی به صورت هارمونیک، متناظر با فرکانس بار وارده خواهد داشت. بنابراین جابجایی­ها به صورت زیر خواهد بود.
(۳-۱۸)
که بزرگی بردار جابجایی است. به طور مشابه بردار شتاب نیز به صورت زیر خواهد بود.
(۳-۱۹)
با جاگذاری سه معادله بالا در معادله حرکت، بیان معادلات حرکت برای حالتی که با بارگذاری هارمونیک مواجه هستیم، به صورت زیر خواهد بود.
(۳-۲۰)
حال سیستم معادلات حرکت به سیستم معادلات خطی و جبری تبدیل شده است. حل مسئله دامنه جابجایی سیستم را به عنوان خروجی می­دهد. در صورت در نظر گرفتن میرایی هیستریسیس در مصالح معادله حاکم بر سیستم به صورت زیر خواهد بود.
(۳-۲۱)
که ضریب جهت مدلسازی مصالح ویسکوالاستیک بکار می­رود که در بخش ۳-۹ توضیح داده می­ شود.
۳-۴ فرمول بندی روش المان محدود
در این مطالعه برای بررسی رفتار حیطه نزدیک از روش المان محدود با المانهای چهار ضلعی هشت گرهی ایزوپارامتریک استفاده شده است. این المانها با افزودن یک گره به وسط هر ضلع المان چهار گرهی به دست می­آیند. المان هشت گرهی صفحه­ای در شکل ۳-۲ نشان داده شده.

است.
شکل ۳-۲ المان سرندپیتی هشت گرهی صفحه­ای در دستگاه مختصات کارتزین
(Cook, 2007)
همانطور که در شکل ۳-۲ قابل ملاحظه است، المان دارای هشت گره بوده و چون در فضای دو بعدی صحبت می­کنیم هر گره دو درجه آزادی جابجایی دارد. در واقع هر المان هشت گرهی در صفحه، شانزده درجه آزادی دارد.
تفاوتی که بین المان چهار گرهی و هشت گرهی وجود دارد علاوه بر تعداد گره­ها در توابع شکل بکار رفته نیز هست. در المانهای هشت گرهی از توابع شکل درجه دو استفاده شده در حالیکه در المانهای چهار گرهی از توابع شکل درجه یک استفاده شده است. این یک اصل ساده ریاضی است که از دو نقطه یک خط و از سه نقطه یک منحنی یا تابع درجه دو عبور می­ کند.
همانطوریکه در شکل ۳-۲ نیز نشان داده شد، این المانها به دلیل توابع شکل درجه دومشان میتوانند انحنای موجود در هندسه مسئله را شبیه سازی کنند.
این المانهای صفحه­ای ایزوپارامتریک را المانهای نیز می­نامند. حرف اول نشان دهنده چهار ضلعی بودن و عدد ۸ نشان دهنده تعداد گره­های این المان است. بوسیله توابع شکل، المان از دستگاه مختصات به دستگاه مختصات نگاشت می­ شود. المان­های نگاشت شده در دستگاه مختصات به یک مربع با اندازه ضلع دو تبدیل می­شوند که گوشه­های آن در و و گره­های وسطی روی خط واصل گوشه­ها قرار دارند.
شکل ۳-۳ المان هشت گرهی در مختصات کلی و مختصات محلی (Yerli, et al., 1999)
توابع شکلی که در این روش استفاده شده است به شرح زیر هستند.
(۳-۲۱)
,