شکل ‏۳‑۸: اثر نرخ زاویه پیچش بر روی سرعت گروه با بهره گرفتن از تئوری گرادیان کرنشی

شکل ‏۳‑۹: اثر نرخ زاویه پیچش بر روی سرعت گروه با بهره گرفتن از تئوری غیر محلی ارینگن
در نهایت تغییرات سرعت گروه برای ضرایب بستر الاستیک مختلف در شکل (۳-۱۰) آورده شده است.نتایج این شکل با شکل­ (۳-۶) مقایسه شده که اثر بستر در شکل (۳-۱۰) نشان داده شده است. در شکل (۳-۶) اثر بستر الاستیک نادیده گرفته شده و با افزایش فرکانس انتشار، سرعت گروه در حال افزایش می­باشد. در حالیکه در شکل (۳-۱۰) با در نظر گرفتن اثر بستر الاستیک، سرعت گروه با افزایش فرکانس انتشار با کاهش همراه می­باشد.

شکل ‏۳‑۱۰: اثر بستر الاستیک بر روی سرعت گروه با بهره گرفتن از تئوری گرادیان کرنشی

فرکانس قطع

به علت محدودیت شرایط مرزی برای تابع موج، فرکانس­ها و شکل­های محدودی برای انتشار موج در محیط انتشار وجود دارد. کمترین فرکانسی که می ­تواند در یک شرایط مشخص، انتشار یابد را فرکانس قطع گویند. در واقع در انتشار موج با فرکانس قطع، عدد موج صفر می­ شود. نمودار
شکل­های (۳-۱۱) و (۳-۱۲)به ترتیب اثر ضریب وینکلر و زاویه پیچش را بر فرکانس قطع برای تئوری­های گرادیان کرنشی و غیر محلی ارینگن نشان می­ دهند. ضریب وینکلر نشان دهنده خاصیت کشسانی محیط اطراف نانو تیر بوده و با افزایش این ضریب، پایداری سیستم افزایش می­یابد. چنانچه این نمودار نشان می­دهد با افزایش ضریب وینکلر در سیستم، فرکانس قطع افزایش یافته است.همچنین با افزایش زاویه پیچش، فرکانس قطع کاهش می­یابد.

شکل ‏۳‑۱۱: اثر ضریب وینکلر بر فرکانس قطع بر حسب زاویه پیچش (تئوری گرادیان کرنشی)

شکل ‏۳‑۱۲: اثر ضریب وینکلر بر فرکانس قطع بر حسب زاویه پیچش (تئوری غیر محلی ارینگن)

فرکانس فرار

فرکانس فرار، حداکثر فرکانسی است که موج با آن در محیط هادی انتشار می­یابد. به عبارتی دیگر در این فرکانس عدد موج بیشترین مقدار خود را داراست. شکل­های (۳-۱۳) و (۳-۱۴) فرکانس فرار نانو تیر پیچیده شده بر حسب نرخ زاویه پیچش را برای تئوری­های گرادیان کرنشی و غیر محلی ارینگن نشان می­دهد. در این نمودار با افزایش نرخ زاویه پیچش، فرکانس فرار به صورت ناچیز افزایش می­یابد.

شکل ‏۳‑۱۳: اثر فرکانس فرار برحسب نرخ زاویه پیچش با بهره گرفتن از تئوری گرادیان کرنشی

شکل ‏۳‑۱۴: اثر فرکانس فرار برحسب نرخ زاویه پیچش با بهره گرفتن از تئوری غیر محلی ارینگن
در شکل (۳-۱۵) اثرات مقیاس طول بر فرکانس فرار با مقایسه سه تئوری کلاسیک، تنش کوپل اصلاح شده و گرادیان کرنشی نشان داده شده است. در این شکل می­توان دریافت فرکانس فراری که با بهره گرفتن از تئوری گرادیان کرنشی بدست می ­آید بسیار بیشتر از تئوری تنش کوپل اصلاح شده و کلاسیک می­باشد.

شکل ‏۳‑۱۵: اثر تئوریهای مختلف مقیاس طول بر روی فرکانس فرار
شکل­های (۳-۱۶) و (۳-۱۷) به ترتیب نمودار عدد موج برحسب فرکانس انتشار موج در
ضخامت­های مختلف نانو تیر پیچیده شده برای تئوری­های گرادیان کرنشی و غیر محلی ارینگن می­باشد. نمودارها نشان می­ دهند که با افزایش ضخامت نانو تیر، عدد موج کاهش می­یابد. همچنین با افزایش فرکانس انتشار موج، عدد موج در نانو تیر پیچیده شده افزایش می­یابد.

شکل ‏۳‑۱۶:اثر ضخامت بر عدد موج بر حسب فرکانس انتشار موج (تئوری گرادیان کرنشی)

شکل ‏۳‑۱۷: اثر ضخامت بر عدد موج بر حسب فرکانس انتشار موج (تئوری غیر محلی ارینگن)
در شکل­های (۳-۱۸) و (۳-۱۹)به ترتیب اثرات تغییر زاویه پیچش بر عدد موج نانو تیر پیچیده شده در فرکانس­های مختلف انتشار موج برای تئوری­های گرادیان کرنشی و غیر محلی ارینگن بیان شده­است. نمودار بیانگر تغییرات ناچیز عدد موج بر اثر تغییر زاویه پیچش می­باشد.

شکل ‏۳‑۱۸:تغییرات عدد موج بر اثر تغییرات زاویه پیچش بر حسب فرکانس انتشار(تئوری گرادیان کرنشی)

شکل ‏۳‑۱۹: تغییرات عدد موج بر اثر تغییرات زاویه پیچش بر حسب فرکانس انتشار(تئوری غیر محلی ارینگن)

تحلیل کمانش نانو تیر پیچیده شده

ضریب فنر وینکلر و ضریب برشی پاسترناکباعث پایداری بیشتر سیستم می­شوند. بنابراین با افزایش این ضرایب، انتظار می­رود، بار کمانش بحرانی افزایش یابد. نمودار شکل­های (۳-۲۰) و
(۳-۲۱)، بیانگر اثرات این ضرایب را بر بار کمانش بحرانی نسبی در طول نانو تیر پیچیده شده
می­باشد و به خوبی افزایش بار کمانش بحرانی بر اثر افزایش ضریب وینکلر و پاسترناک را نشان
می­دهد. همچنین افزایش اختلاف نمودارها با افزایش طول نانو تیر مؤید این نکته می­باشد که با افزایش طول، و در نتیجه افزایش اثر محیط الاستیک بر نانو تیر پیچیده شده، سیستم پایدارتر شده ودر نتیجه بار کمانشی افزایش می­یابد.

شکل ‏۳‑۲۰: بار کمانش بحرانی نسبی بر حسب تغییرات طول تیر در مقادیر مختلف ضریب وینکلر (تئوری غیر محلی ارینگن)

شکل ‏۳‑۲۱: بار کمانش بحرانی نسبی بر حسب تغییرات طول تیر در مقادیر مختلف ثابت برشی پاسترناک (تئوری غیر محلی)
شکل (۳-۲۲)، اثر پارامترمقیاس کوچک طول بر بار کمانش بحرانی را نمایش می­دهد. افزا
یش پارامتر مقیاس کوچک طول، باعث افزایش سفتی نانو تیر پیچیده می­ شود و انتظار می­رود افزایش سفتی با افزایش بار کمانش بحرانی همراه شود. نمودار شکل (۳-۲۲) خلاف این گفته را نشان
می­دهد و با افزایش پارامتر مقیاس کوچک طول، بار کمانش بحرانی کاهش می­یابد و این نقصان تئوری غیر محلی ارینگن در توصیف کمانش را نشان می­دهد.

شکل ‏۳‑۲۲: تغییرات بار کمانش بحرانی تیر بر اثر تغییرات پارامتر طول در مقادیر مختلف ضریب مقیاس کوچک طول

تحلیل ارتعاشات نانو تیر پیچیده شده

با توجه به نمودار شکل (۳-۲۳)، افزایش زاویه پیچش باعث افزایش فرکانس طبیعی سیستم می­ شود که این افزایش در ضخامت­های بالاتر مشهود­تر است.

شکل ‏۳‑۲۳: اثرات زاویه پیچش بر فرکانس طبیعی در ضخامت­های مختلف
در نمودار شکل (۳-۲۴) اثر ضریب وینکلر بر فرکانس طبیعی بر حسب ضخامت نشان داده شده است. در این نمودار نیز افزایش پایداری سیستم بر اثر افزایش ضریب وینکلر مشاهده شده و فرکانس طبیعی سیستم با افزایش ضریب وینکلر افزایش می­یابد. با افزایش ضخامت تیر و در نتیجه افزایش سطح مقطع، اثر ضریب وینکلر بر پایداری و در نتیجه فرکانس طبیعی کاهش یافته و نمودارها همگرا می­شوند.