(۳-۲)

با توجه به شکل (۳-۱) واضح است که:

(۳-۳)

در نظر گرفتن توابع نمایی برای ارائه تغییرات پیوسته خصوصیات فیزیکی مواد در امتداد ضخامت میکروتیر (بین سطوح بالایی و پایینی) می تواند یک تقریب مناسبی برای حل معادلات الاستیسیته در مورد مواد FG باشد []:

(۳-۴)

که ، ، ، ، و به ترتیب مدول یانگ، مدول برشی، ضریب پخش حرارتی، چگالی، ضریب هدایت حرارتی و طول مشخصه ی مولفه ی فلز تشکیل دهنده ی ماده ی تیر می باشند. پارامترهای، ، ، ، و مربوط به مقدار نفوذ و پراکندگی سرامیک درون فلز می باشند که با بهره گرفتن از معادلات (۳-۱) و (۳-۲)، به صورت زیر بدست می آیند:

(۳-۵)

۳-۲ مدلسازی ریاضی و استخراج معادلات برای دستیابی به خیز تیر
۳-۲-۱ معادله ی هدایت گرما
ابتدا به چند نکته مهم اشاره می شود. اولاً اینکه برای داشتن یک خیز بزرگ و محسوس، ضرایب انبساط حرارتی فلز و سرامیک باید اختلاف زیادی داشته باشند. دوماً، سطح پایین میکروتیر چون
می بایست به عنوان الکترود برای ایجاد فشار الکترواستاتیک باشد، باید رسانا باشد، بنابراین سطح پایین میکروتیر می تواند با یک لایه نازک طلایی در ضخامت نانو پوشانده شود. سوماً، به دلیل مقیاس بسیار کوچک سیستم، عدد بایوت^[۸۳] متناظر مسئله حدود است، در نتیجه با تقریب بسیار خوبی می توان از گرادیان دمائی داخل جسم صرف نظر کرده و توزیع دما را در هر لحظه زمانی یکنواخت در نظر گرفت. چهارماً به خاطر تغییر شکلهای کوچک عرضی میکروتیر اینگونه فرض میشود که زاویه ی تشعشع بدون تغییر باقی بماند، در نتیجه شار گرما مستقل از تغییر شکل تیر در نظر گرفته میشود. در نهایت به خاطر ابعاد بسیار کوچک سیستم، هوای اطراف میکروتیر در شرایط کاملا محدود قرار دارد و می تواند به راحتی تحت گرادیان دمایی جریان یابد، بنابراین عدد ناسلت^[۸۴] در جابجایی حرارتی آزاد بسیار کوچک می باشد، در نتیجه هدایت حرارتی تنها پدیده ی انتقال حرارتی است که بین میکروتیر و دیواره ی سنسور اتفاق می افتد. با این پیش زمینه ها، برای سیستم مورد مطالعه، معادله ی انتقال حرکت را اینگونه می توان نوشت:

(۳-۶)

جاییکه و سطوح مقطع انتقال حرارت مربوط به تیر و منبع میباشند. همچنین ، ، ، ، ، و به ترتیب معرف دمای منبع، دمای میکروتیر، دمای هوای اطراف، فاصله ی بین میکروتیر و الکترود ثابت، ضریب هدایت حرارتی هوا ، ثابت جهانی استفان-بلتزمن^[۸۵]و ضریب دید^[۸۶] میباشند (زیرنویس برای منبع و برای تیر منظور شده است.). برای بدست آوردن مقدار ضریب دید رابطه زیر را داریم []: