(۶۱.۲)

شرایط مرزی گسسته شده نیز بدین شرح است:

(۶۲.۲)

(۶۳.۲)

گسستهسازی معادلات دیفرانسیل معمولی اولیهی (۵۸.۲) و (۵۹.۲) برای حل معادلات پارهای (۵۵.۲) و (۵۶.۲) بدین شرح است:

(۶۴.۲)

(۶۵.۲)

۳.۱.۹.۲- نتایج:
قبل از بررسی نتایج، در ابتدا استقلال از شبکه برای مساله مورد نظر بررسی میگردد. درجدول ۱.۲ استقلال روش از تعداد گرهها در جهت y بررسی شده است. نتایج بحث شده در جدول ۱.۲، در x=0 بررسی شدهاند. درحقیقت با صفر قرار دادن x، معادلات حاکم بر جریان از x مستقل شده و موجب میگردد تا اثرات نامطلوبی که ممکن است انتخاب ناآگاهانهی فاصلهی گرهها در راستای x بر نتایج استقلال شبکهی مساله در راستای y بگذارد، حذف گردد. نتایج بدست آمده نشان میدهدکه با انتخاب ۲۶ گره در راستای مذکور مساله تا ۴ رقم بعد از اعشار به جوابهای مطلوبی همگرا میگردد.
حال به بررسی استقلال شبکه از تعداد گرهها در راستای x خواهیم پرداخت. این مساله در جدول ۲.۲ بررسی شده است. مقادیر داده شده در جدول ۲.۲ در x=90 محاسبه شدهاند. علت انتخاب این زاویه در جدول ۲.۲ بدین شرح است که چون این نقطه، نقطهی انتهایی در راستای x میباشد و از طرفی مساله بر روی x از نوع مسالهی مقدار اولیه است، پس انباشتگی خطاهای برشی حاصل از روش عددی در این نقطه ماکزیمم خود را دارد. همانگونه که در جدول ۲.۲ بررسی شده است ، با انتخاب ۶ گره در راستای x مساله به جوابهای مطلوبی همگرا میشود. با توجه به نتایج حاصل از جدول۱.۲ و ۲.۲ اندازهی شبکهی محاسباتی، ۲۶*۶ در نظرگرفته شده است.
به منظور بررسی مزایای روش مرتبهی بالا نسبت به روش های مرتبهی پایین در حل مسالهی انتخاب شده، در راستای x از دو روش عددی مختلف بهره گرفته شده است. روش های عددی انتخاب شده برای گسستهسازی معادلات در راستای مذکور، روش مربعات دیفرانسیل و روش تفاضل مرکزی با دقت مرتبهی دو میباشند. شایان ذکر است که برای هر دو حالت بررسی شده، از روش مربعات دیفرانسیل در جهت y استفاده شده است. در جدول ۳.۲ مزیت روش ترکیبی DQ-DQ نسبت به DQ-FD از نظرمدت زمان اجرای برنامه و همچنین تعداد گره لازم برای استقلال مساله در جهت x بررسی شده است. مقادیر داده شده در جدول ۳.۲ در x=90 محاسبه شدهاند. جدول ۳.۲ نشان می دهد که روش ترکیبی DQ-FD به بیشتر از ۴ برابر زمان محاسبهی مورد نیاز برای روش ترکیبی DQ-DQ نیاز دارد. در ضمن تعداد گرهی که نیاز است تا مساله در راستای x تحت روش ترکیبی DQ-FD به استقلال برسد بیش از ۲ برابر روش DQ-DQ می باشد.
برای اطمینان حاصل کردن از صحت نتایج بدست آمده، به مقایسهی نتایج ناسلت محلی و ضریب برش دیواره روش مذکور با نتایج حاصل از تحقیقات سایر محققین می پردازیم. این نتایج به ترتیب در جدول ۴.۲ و جدول ۵.۲ آورده شده است. همانگونه که از جدوال ۴.۲ و ۵.۲ مشخص است، نتایج بدست آمده از طریق روش مربعات دیفرانسیل با نتایج ]۶[ ، ]۱۱[، ]۱۲[ و ]۱۴[ همخوانی دارد.
شکل ۶.۲.الف و ۶.۲.ب به ترتیب روند تغییرات پروفیل سرعت و دما را نسبت به x نشان میدهند. آنچه از این اشکال برمیآید این است که پروفیل سرعت در نزدیکی دیواره به حداکثر خود میرسد و پس از آن به صورت یکنواخت کاهش مییابد این در حالی است که پروفیل دما در روی دیواره حداکثر خود را دارد و هر دوی آنها به صورت مجانبی به صفر میل میکنند. از طرفی با افزایش زاویهی اندازه گیری شده از نقطهی سکون ضخامت لایه مرزی هیدرودینامیکی و حرارتی افزایش مییابد.
فصل سوم:
جریان جابجایی آزاد گذرا بر روی کره دما ثابت
در این فصل جریان جابجایی آزاد گذرا بررسی خواهد شد. جسم دلخواهی را مطابق شکل ۱.۳.الف در نظر بگیریدکه در لحظهی اولیه در تعادل دمایی با محیط اطراف در  قرار دارد و ناگهان دمای سطح آن در زمان صفر به  میرسد. در این لحظه شار حرارتی دیواره از لحاظ تیوری به بینهایت میرسد و پس از آن شار حرارتی دیواره منحنی هدایت را مطابق شکل ۱.۳.ب دنبال میکند تا زمانی که به زمان گذار^[۳۰] _D tبرسد. در زمان های نهایی  به حالت دایم انتقال حرارت جابجایی دست خواهیم یافت. این دو رژیم تحت عنوان رژیم هدایت  و رژیم دایم  شناخته میشوند. رژیمی که ما بین این دو رژیم قرار میگیرد، رژیم انتقالی نامیده میشود  .
در زمان _i t، انتقال حرارت مبادله شده از پدیدهی هدایت با انتقال حرارت مبادله شده در انتقال حرارت جابجایی دایم برابر است. اگر قبل از این زمان اثرات لبه در مکان مشخص احساس شود، در حقیقت آغاز جابجایی و هدایت قبل از این زمان به هم میرسند. بنابراین انتقال حرارت به صورت یکنوا کاهش مییابد مانند مسیر A در شکل ۱.۳.ب اما اگر آغاز جابجایی بعد از زمان مذکور رخ دهد، بنابراین مقدار انتقال حرارت پایینتر از مقدار حالت دایم قرار میگیرد که در این حالت همانگونه که مسیرB نشان داده شده است، رژیم انتقالی مقدار انتقال حرارت را با پایینزنی^[۳۱] تصحیح میکند. در حقیقت زمان گذار در این حالت، زمانی است که انتقال حرارت به حداقل خود میرسد. مسالهی زمانی که آغاز جابجایی و انتهای هدایت به هم میرسند و تاثیر آن بر انتقال حرارت دیواره و تنش برشی دیواره از مسایل مهم در جریان گذرا میباشد. گفتنی است که تاثیر این اثر بر تنش برشی دیواره خیلی کمتر از تاثیری است که بر انتقال حرارت دیواره میگذارد و بر خلاف انتقال حرارت دیواره از بالازنی^[۳۲] به منظور تصحیح مقدار تنش برشی دیواره استفاده میکند. بررسی نحوهی گذار در جریان گذرا به پارامترهای جریان بستگی دارد و از مسایل مهم در بحث جریانهای گذرا میباشد. در ادامه به بررسی جریان جابجایی آزاد گذرا اطراف کرهی دما ثابت با بهره گرفتن از روش DQ-IDQ پرداخته میشود و تاثیر پارامترهای گوناگون در جریان گذرا بررسی میگردد.
۱.۳- بررسی جریان جابجایی آزادگذرا اطراف کرهی همدما
پس از بررسی جریان جابجایی آزاد دایم در اطراف کرهی همدما، جریان لایهی مرزی جابجایی آزادگذرا در حالت دوبعدی در اطراف کره ی همدما مورد مطالعه قرار گرفته شد.
۱.۱.۳- مدلسازی ریاضی جریان:
در این بخش چون جریان غیر دایم است تنها فرضی که بر فرضیات جریان دایم اضافه میشود فرض زیر است

• در زمان  ، دمای کرهی غوطه ور در سیال ناگهان از دمای سیال محیط برابر با  به دمای سطح کرهی  میرسد و پس از آن در آن دما باقی میماند.

با توجه به فرضیات فوق و با بهره گرفتن از تقریب بوزینسک معادلات لایهی مرزی به قرار زیر است:
معادلهی پیوستگی: