شکل ۳-۳- پاسخ زاویه­ای و سرعت زاویه­ای پلتفرم به ورودی پله اعمالی  به گیمبال ۱

شکل ۴-۳- پاسخ زاویه­ای و سرعت زاویه­ای پلتفرم به ورودی پله اعمالی  به گیمبال ۲
همان‌طور که در شبیه‌سازی‌ها مشاهده می‌گردد شرایط اولیه زوایا برابر صفر در نظر گرفته شده است. در شکل ۳-۳ که ورودی به گیمبال ۱ اعمال شده در ابتدا شروع به حرکت می‌کند و در نتیجه باعث چرخش (گیمبال خارجی) و (گیمبال داخلی) می‌شود. همچنین در شکل ۴-۳ که ورودی به گیمبال میانی وارد شده است در ابتدا گیمبال میانی شروع به حرکت کرده و سپس گیمبال‌های داخلی و خارجی شروع به حرکت می‌کنند. شکل ۵-۳ پاسخ پلتفرم را به ورودی پله اعمالی به گیمبال ۳ را نشان می‌دهد. این نتایج حرکت و چرخش را تنها در گیمبال ۳ نشان می‌دهد و دیگر گیمبال‌ها بدون حرکت باقی خواهند ماند.

شکل ۵-۳- پاسخ زاویه­ای و سرعت زاویه­ای پلتفرم به ورودی پله اعمالی  در گیمبال ۳
با توجه به نتایج بدست آمده در شبیه­سازی­ها و عملکردهای ژیروسکوپ در دنیای واقعی می­توان این به صحت نتایج شبیه­سازی اطمینان حاصل نمود. برای مثال هنگامی که نیروی به گیمبال ۳ اعمال می­­گردد در زاویه‌های مربوط به گیمبال ۱ و ۲ تغییری اتفاق نمی­افتد و همچنین هنگامی که نیروی به گیمبال ۱ یا ۲ اعمال می­­گردد در زاویه‌های مربوط به گیمبال ۳ تغییر اندکی را داریم.

باید به این نکته توجه نمود که سیستم طراحی شده بدلیل پیچیدگی­های آن به طور مستقیم مورد استفاده قرار نخواهد گرفت. در فصل ۴ و به منظور طراحی کنترلر ابتدا ساده­سازی­هایی بر روی سیستم انجام خواهد گرفت تا طراحی کنترلر به طور مناسبی صورت گیرد. همچنین میزان تاثیرگذاری این ساده‌سازی­ها با بهره گرفتن از شبیه­سازی مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
فصل چهارم: طراحی کنترل کننده
در این بخش طراحی کنترل کننده برای یک پلتفرم انجام شده است ابتدا معادلات حرکت پلتفرم استخراج شده در بخش ۲ ساده گردیده و بصورت یک معادله خطی در آمده است و سپس کنترل کننده برای این معادلات خطی طراحی گردید. در انتها نتایج شبیه‌سازی نشان داده شده است.
۱-۴- مقدمه
به منظور کاهش بار محاسباتی در طراحی کنترل کننده، حرکت پلتفرم را با تغییر زاویه‌ای کوچک در نظر می‌گیریم. با این فرض دو کنترل کننده طراحی خواهد گردید. در ابتدا کنترلی برای تنظیم حرکات عمودی پلتفرم و سپس کنترلی برای تنظیم حرکات افقی پلتفرم طراحی خواهد گردید.
در طراحی حلقه فیدبک از تغییرات زاویه‌ای پلتفرم در مختصات گیمبال استفاده شده است. بنابراین می‌توان به راحتی با اعمال سیگنال مرجع سرعت تغییرات زاویه پلتفرم را در جهت دلخواه قرار داد. همچنین با صفر قرار دادن تغییرات زاویه‌ای می‌توان از ثابت بودن پلتفرم اطمینان حاصل نمود. در هر کنترل کننده زوایای ، ، محاسبه شده و به عنوان یک شاخص برای صحت موقعیت پلتفرم استفاده می‌گردد.
۲-۴- معادلات حالت و قانون کنترلی
سیستم برای کنترل حرکات عمودی شامل گیمبال‌های داخلی و میانی می‌باشد. این سیستم دارای دو ورودی و بوده و دو خروجی و را نتیجه خواهد داد که یک سیستم چند ورودی- چند خروجی است. برای طراحی کنترل کننده برای چنین سیستمی از تکنیک معادلات حالت استفاده می‌شود. سیستم را می‌توان طبق معادلات حالت زیر بیان نمود:
(۴٫۱)
(۴٫۲)
در معادلات۴٫۱ و ۴٫۲ بردار حالت با x ، ماتریس حالت با F، بردار ورودی با u، ماتریس ورودی با G، ماتریس خروجی با H و ماتریس فیدبک با J نشان داده شده است. از آنجا که سیستم یک سیستم چند ورودی-چند خروجی می­باشد، فیدبک بصورت ماتریسی ظاهر می­گردد.
اگر در دینامیک حرکتی ژیروسکوپ معادلات حرکتی گیمبال‌های داخلی و میانی را از گیمبال خارجی جدا کنیم خواهیم داشت:
(۴٫۳)
(۴٫۴)
با فرض بردار حالت بصورت
(۴٫۵)
و تعریف توابع زیر
(۴٫۶)
(۴٫۷)
(۴٫۸)
(۴٫۹)
سیستم را می‌توان حول نقطه تعادل خطی سازی نمود و ماتریس حالت خطی سازی شده را بصورت زیر بدست آورد.
(۴٫۱۰)
با اعمال مشتقات جزئی در فرمول (۴٫۱۰) ماتریس خطی سازی شده پس از اعمال نقاط اولیه مورد نظر و با توجه به این واقعیت که و در طول مراحل پایدارسازی کوچک می‌باشند بصورت زیر بدست خواهد آمد:
(۴٫۱۱)
رابطه (۴٫۱۱) نشان می‌دهد که حالت‌های و از حالت‌های و مستقل هستند و لذا می‌توانند از یکدیگر جدا شوند. بنابراین به منظور پلتفرم می‌توان سرعت‌های زاویه‌ای و را کنترل نمود و زوایا را از بردار حالت حذف کرده و معادلات حالت ساده‌تری را تحلیل نمود:
(۴٫۱۲)
(۴٫۱۳)
(۴٫۱۴)
برای پیاده‌سازی این معادلات ابتدا باید آن را گسسته نمود. لذا ماتریس گذر حالت بصورت زیر بدست می‌آید.
(۴٫۱۵)
و همچنین
و معادلات فضای حالت گسسته برابر خواهد بود با:
(۴٫۱۶)
(۴٫۱۷)
از آنجا که در این معادلات حالت، اصطکاک ‌ها در نظر نگرفته نشده است لذا یک عامل انتگرال به سیستم اضافه می‌کنیم تا صفر بودن خطای ماندگار تضمین گردد. بنابراین مدل فضای حالت نهایی که انتگرال‌گیر به آن اضافه گردیده است به همراه سیگنال مرجع ورودی برابر خواهد بود با:
(۴٫۱۸)
(۴٫۱۹)