(۱-۳۲)
با اثر دادن  بار عملگر خلق (نابودی) روی ویژه حالت  ، روابط زیر حاصل میشود ]۱۰[:
(۱-۳۳)
(۱-۳۴)
ویژه حالتهای  ، حالتهای فوک[۱۸] نامیده میشود. این ویژه حالتها یک مجموعه کامل از حالتها را می‌سازند که با رابطه زیر مشخص میشود:
(۱-۳۵)
دراینجا ویژه مقادیر انرژی گسسته هستند. در صورتی که در مساله الکترومغناطیس کلاسیک، انرژیها میتوانند هر مقداری داشته باشند. برای یک بردار حالت در حالت کلی یک بر هم نهی دلخواه از ویژه حالتهای انرژی وجود دارد. به طور مثال:
پایان نامه - مقاله - پروژه
(۱-۳۶)
۱-۳ نظریه نیمه کلاسیک اندرکنش اتم-میدان
یکی از ساده ترین مسایل درگیر در اندرکنش اتم-میدان، جفت شدگی یک اتم دو ترازی با یک میدان الکترومغناطیس است. توصیف یک اتم دو ترازی هنگامی معتبر است که دو تراز اتمی درگیر، در حالت تشدید یا نزدیک تشدید با میدان تحریک کننده باشند. در حالی که ترازهای دیگر نامیزانی[۱۹] بالایی دارند. در این قسمت نظریه نیمه کلاسیک اندرکنش یک اتم دو ترازی با یک مد از میدان را نشان میدهیم که در آن اتم به صورت یک سیستم کوانتومی دو ترازی و میدان به صورت کلاسیک در نظر گرفته شده است. یک اتم دو ترازی مشابه یک سیستم اسپین  با دو حالت ممکن میباشد .در تقریب دوقطبی هرگاه طول موج میدان تابشی بزرگتر از اندازه اتم باشد، مساله اندرکنش اتم-میدان معادل اندرکنش یک ذره اسپین  با یک میدان مغناطیسی وابسته به زمان میباشد و مانند سیستم اسپین  که در اثر اندرکنش با میدان دچار نوسان‌های به اصطلاح رابی بین حالتهای اسپین بالا و پایین میشود، اتم دو ترازی هم در اندرکنش با میدان مغناطیسی تحریک کننده دچار نوسانهای رابی[۲۰] میشود که در صورت واپاشی ترازهای اتمی این نوسانها میرا خواهند بود.
۱-۴ نیروی کلاسیکی
برای مجسم کردن اثر تابش لیزر روی اتم، اثر یک میدان الکتریکی روی یک الکترون مقید در نظر میگیریم. لورنتز پیشنهاد داد که فرض شود الکترون توسط یک میدان بستگی کلمب[۲۱] در یک موقعیت تعادل نگهداشته شود. در این صورت میتوان با در نظر گرفتن خواص شبه موج الکترون، توزیعی ازبارهای الکتریکی منفی(یک ابر الکترونی) را تصور نمود که با اعمال میدان الکتریکی روی این ابر بار، یک نیروی متغیر زمانی تولید میگردد. ساده‌ترین حالت، میدان تولید شده توسط نور قطبیده خطی در راستای  با بردار واحد  به صورت زیر است:
(۱-۳۷)

شکل۱-۲: اندرکنش اتم با میدان کلاسیکی
این میدان یک نیروی دورهای را به طور متناوب در راستای  و  مطابق شکل بالا اعمال میکند و ابر الکترونی برای پاسخ به این نیرو باید به طور دورهای به سمت  و سپس  حرکت کند. این حرکت به صورت ارتعاش ابر الکترونی با فرکانس تابش  ظاهر میشود. هرگاه این فرکانس، شرط بوهر[۲۲] را که به صورت  میباشد ارضا کند، علاوه بر حرکت دورهای ساده یک حرکت ساده تدریجی هم به ابر الکترونی تحمیل می شود. اثر این نیروی دورهای کلاسیکی روی حرکت هارمونیک به این صورت توصیف میشود: هرگاه نیرو با حرکت هم فاز باشد (افزایش انرژی نوسان) رخ میدهد و هرگاه نیرو خلاف سرعت باشد، انرژی نوسان حرکت کاهش مییابد. با اعمال یک میدان دوره‌ای روی حرکت یک ابر الکترونی نیز، اثراتی مشابه اعمال نیروی دوره‌ای کلاسیک مشاهده میشود. این گرفتن و از دست دادن انرژِی، به صورت دورهای اتفاق افتاده و فرکانس آن به عنوان فرکانس رابی[۲۳] معروف است.
۵-۱ هامیلتونی اندرکنش اتم- میدان
الکترون دارای بار  و جرم  که با یک میدان مغناطیسی خارجی اندرکنش میکند، توسط هامیلتونی زیر توصیف میشود:
(۱-۳۸)
که در آن  ، اندازه حرکت کانونیکی است و  و  به ترتیب پتانسیلهای برداری و نردهای میدان خارجی بوده و  پتانسیل الکترواستاتیکی است که معمولا پتانسیل بستگی اتمی میباشد. قبل ازاینکه هامیلتونی را به مثال ساده مناسب توصیف اندرکنش اتم دو ترازی با میدان تابشی کاهش دهیم، ابتدا آن را از نقطه نظر پیمانه ناوردا]۱۱[ بررسی مینماییم. هامیلتونی(۳۸-۱)، برای حرکت الکترون آزاد،  است. با قرار دادن  هامیلتونی عبارت خواهد بود از:
(۱-۳۹)
با قرار دادن این هامیلتونی در معادله شرودینگر زیر:
(۱-۴۰)
خواهیم داشت:
(۱-۴۱)
و چگالی احتمال یافتن الکترون در مکان r و زمان t بدین صورت است:
(۱-۴۲)
اگر معادله شرودینگر(۴۱-۱) پاسخی به صورت  داشته باشد. پس جوابی هم بصورت زیر خواهد داشت:
(۱-۴۳)
که در آن  یک فاز اختیاری ثابت میباشد. از آنجا که انتخاب اختیاری  چگالی احتمال را تغییر نمیدهد پس انتخاب فاز تابع موج  کاملا اختیاری بوده و دو تابعی که در یک فاز ثابت تفاوت داشته باشند، حالت فیزیکی یکسانی را نشان میهند. ولی اگر فاز به صورت موضعی تغییر کند یعنی تابعی از فضا و زمان بصورت زیر باشد، موقعیت متفاوتی را ایجاد خواهد کرد:
(۱-۴۴)
تحت این تبدیل، باز هم احتمال تغییر نمیکند ولی با قرار دادن (۱-۴۴) در (۱-۴۱) ملاحظه میشود که معادله شرودینگر برآورده نخواهد شد:

(۱-۴۵)
با ساده کردن رابطه فوق وحذف  از طرفین معادله خواهیم داشت:

(۱-۴۶)
بدین ترتیب برای برآورده کردن ناوردایی پیمانه محلی، باید معادله شرودینگر با افزودن جملاتی به آن اصلاح شود. برای این کار باید از تبدیلات زیر استفاده کنیم:
(۱-۴۷)
(۱-۴۸)
با قرار دادن معادلات فوق در رابطه (۴۶-۱) خواهیم داشت:
(۱-۴۹)
که با ساده کردن آن معادله شرودینگر عبارت خواهد بود از:
(۱-۵۰)
که هامیلتونی جفت کننده الکترون با میدان الکترومغناطیسی برابر با عبارت داخل آکولاد است. توابع  به ترتیب پتانسیل‌های برداری و نرده‌ای میدان مغناطیسی و پتانسیل‌های وابسته به پیمانه هستند. کمیت‌های مستقل پیمانه‌ای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی به صورت زیر میباشد:
(۱-۵۱)
(۱-۵۲)
معادله شرودینگر(۱-۵۰)، اندرکنش یک الکترون آزاد با میدان الکترومغناطیس مشخص را نشان میدهد که درآن الکترون‌ها توسط تابع موج  و میدان توسط پتانسیل های برداری  و نردهای  توصیف شدهاند.
۶-۱ تقریب دو قطبی[۲۴]  هامیلتونی

موضوعات: بدون موضوع  لینک ثابت


فرم در حال بارگذاری ...