به دلیل این که و همچنین یکنواست ، نتیجه می گیریم با بهره گرفتن از (۷۷)
با توجه به این که (۷۶)، پس می باشد بنابراین یک انقباض است و با بهره گرفتن از قضیه ی ۴-۲-۲۲ اثبات کامل است. ب) ابتدا بدون از دست دادن هیچ کلیتی ، برای همه ی و ها فرض می کنیم و نشان می دهیم . برای این کار قرار می دهیم . با بهره گرفتن از استقراء داریم

فرض می کنیم و همچنین اگر داده شده باشد ، را برای همه ی ها به گونهای انتخاب می کنیم که
در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۵۸)


با توجه به این که (فرض استقراء) و مثبت هستند ، بنابراین
هنگامی که میل کند ، نتیجه می گیریم پس .
اکنون ، حالت کلی را در نظر می گیریم ، برای این کار قرار می دهیم
(۷۹) در نتیجه جواب مسأله ی (۷۴) و (۷۵) با است. با جایگذاری (۷۹) در عبارت بالا داریم


با توجه به (۷۵) بنابراین
حال ، با توجه به تعریف (۷۳) نتیجه می گیریم
با قرار دادن این عبارت در (۸۰) به دست می آوریم :
بنابر فرض ، پس
که نتیجه می شود ، بنابراین
در نتیجه
با تعویض و اثبات تمام می شود .
قبل از ادامه ی بحث ، یک فرض روی تابع جبرانیه ی در نظر خواهیم گرفت.
۴-۲-۲۴ فرض: گیریم روی پیوسته باشد و نقاط وجود داشته باشند . به طوری که روی ، برای ، متعلق به باشد و برای همه ی و داشته باشیم :
برای مثال ، تابع جبرانیه ی اختیار فروش ، ،در این شرایط صدق می کند .
۴-۲-۲۵ تعریف (ضرب پیچشی^[۸۷]) : برای هر تابع بورل اندازه پذیر و هر اندازه ی روی ضرب پیچشی به صورت زیر تعریف می شود:
[۹].
۴-۲-۲۶ لم: گیریم در فرض ۴-۲-۲۴ صدق کند و ، جواب ویسکوزیته ی مسأله ی زیر باشد:
آن گاه ، برای همه ی ، :
جایی که ثابت C فقط به و ضرایب اپراتور (یعنی ) بستگی دارد .
اثبات: با بهره گرفتن از تعریف (۱۵) و ضرب پیچشی داریم
که چگالی ، چگالی و چگالی
هستند. پس
مشتتقات ممکن است دارای پرش هایی در باشند، این پرش ها را با نشان می دهیم. بنابراین با توجه به ۴-۲-۲۴ برای همه ی و ،
با بهره گرفتن از تعریف ضرب پیچشی

که مشتق نقطه ای ام است. برای همه ی داریم

در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۸۴)، (۸۵) و (۸۶)
در نتیجه حکم قضیه برای و برقرار است. به وسیله ی استقراء روی فرض می کنیم برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال برای هر داریم
با به کار بردن این نتیجه برای و استفاده از نتیجه می گیریم
بنابراین برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال با روندی مشابه بالا، برای و ،با استقراء روی به نتیجه ی مطلوب خواهیم رسید.
با بهره گرفتن از لم قبل، نتیجه ی سازگاری زیر را اثبات می کنیم .
۴-۲-۲۷ لم : اگر جواب مسأله ی (۸۱) و (۸۲) باشد، آن گاه برای همه ی ،
که .
اثبات : با بهره گرفتن از ۴-۱-۱۱ داریم:
از فرمول تیلور نتیجه می گیریم ، به طوری که

(۸۷)
بخش انتگرال به صورت زیر تخمین زده می شود(بنابر تخمین انتگرال ها با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای):