الف) هرگاه باشد آنگاه هریک از بردار F-ریتز به صورت وابسته خطی عددی می­باشد، از هرکدام از عددها چندگانگی را تشخیص می­دهیم.
ب) هرگاه باشد آنگاه هریک از بردار F-ریتز به صورت مستقل خطی می­باشد.
پس حداقل گانه می­باشد. آنگاه الگوریتم آرنولدی سراسری را با یک جدید مستقل از قبلی اجرا نموده و بردارهایF-ریتز همگرای جدید را محاسبه می­کنیم و آنها را به مقادیر قبلی
اضافه می­کنیم. اگر به صورت وابسته خطی عددی باشد آنگاه رتبه^[۱۰]ماتریس برابر می­ شود درغیر اینصورت ادامه می­دهیم. قضیه و آزمایش عددی نشان می­دهد که این فرایند مقدارویژه چندگانه و مکان آن را تا وقتی که شرط مقدارویژه خواسته شده کوچکتر از معکوس نرم باقیمانده باشد، بدست می ­آورد.
روش آرنولدی سراسری در حافظه بسیار پرهزینه است و هزینه­ محاسبات با اضافه شدن افزایش می­یابد. بنابراین برای کاهش این هزینه­ها، شروع مجدد هنگامی­که به تقریبی از مقدارویژه برای بالاترین مقدار نرسیده است، لازم است. عملیات شروع مجدد ابتدا توسط کاروش^[۱۱] [۲۲] بیان شده است سپس طرح شروع مجدد به وسیله تعداد زیادی از پژوهشگران مورد تحقیق قرار گرفت. به­خصوص پایگه^[۱۲] [۱۰]، کولوم ^[۱۳]و دونات^[۱۴] [۱۰] ، گلوب^[۱۵] و آندروود^[۱۶][۱۲] ، سد^[۱۷][۲۷,۲۸] و چاتلین^[۱۸] و هو^[۱۹][۶]که همگی آنها طرح، شروع مجدد ضمنی بودند. پس از طی چندین سال مشهورترین طرح شروع مجدد توسط سورنسون^[۲۰] [۳۳] ارائه شد که ترکیبی از تکرار انتقال ضمنی با فرایند آرنولدی می­باشد. همچنین انتقال­های دقیق در [۳۳] بیان شده است.

در ادامه­ این پایان نامه الگوریتم شروع مجدد را با فرایند آرنولدی سراسری ادامه می­دهیم و الگوریتم ضمنی شروع مجدد آرنولدی سراسری^[۲۱] با مقادیر F-ریتز ناخواسته، توسط انتقال پیاده سازی می­کنیم.
نکاتی که در این پایان ­نامه باید در نظر داشت :
یک ماتریس قطری پذیر بزرگ است.
مقدارویژه و بردارویژه متناظر با آن می­باشد.
نرم طیفی یک ماتریس و نرم-۲ بردار است.
نرم فریبنیوس یک ماتریس می­باشد و
حرف بالای ماتریس به معنای ترانهاده مزدوج آن ماتریس می­شد
ماتریس واحد است
بردارهای ویژه و تقریب آنها با طول واحد نرمال­سازی می­شوند.
۳-۳ فرایند آرنولدی سراسری ، FOM سراسری و GMRES سراسری
تعریف ۳-۲ : فرض کنید را فضای خطی فشرده از ماتریس مثلثی باشد. برای دو ماتریس و در ، -Fضرب داخلی را بصورت زیرتعریف می­کنیم:
که به معنی اثر ^[۲۲]ماتریس مربعی می­باشد.
تعریف ۳- ۳ : هنگامیکه و ، F-متعامد باشند آنگاه -Fضرب داخلی آن برابر صفر می­باشد و بصورت زیر تعریف می­ شود:
تعریف ۳-۴ : برای هر ماتریس اولیه ، زیرفضای کرایلف ماتریس تعریف می­ شود و بصورت زیر است:
که زیرمجموعه است.
در واقع اگر یعنی، به ازای یک اسکالر ،
اگر و با تعریف یک عمل خطی که:
آنگاه داریم:
که یعنی ضرب داخلی از فضای بردار مختلط می­باشد.
تعریف ۳-۵ : را ضرب کرونکر^[۲۳] ماتریس و نشان می­دهیم، که خواص اساسی آن عبارتند از: (خاصیت­های پایه در [۱۱] ذکر شده است)
اگر ، آنگاه داریم:
هر مقدارویژه ، از ،یک مقدارویژه گانه از است.
در ادامه به توضیح الگوریتم آرنولدی سراسری می­پردازیم. اساس این الگوریتم بر فرایند گرام اشمیت اصلاح شده است، که یک پایه­ -Fمتعامد ، از زیرفضای کرایلف ماتریس را می­سازدکه برای که دلتای کرونکر است.
در ادامه الگوریتم آرنولدی سراسری و قضایای مربوط به آن را شرح می­دهیم.
۳-۳-۱ الگوریتم آرنولدی سراسری ( الگوریتم ۱) [۱۶,۲۴]
ورودی الگوریتم : ماتریس و ماتریس شروع
خروجی الگوریتم: ماتریس هسنبرگی (مقادیرویژه آن تقریبا با مقادیربرابر است) و ماتریس نتیجه
این فرایند به ضرب ماتریس در بردار به علاوه­ی عملیات ممیز شناور نیاز دارد.
اگر را به صورت ،همچنین و را دو ماتریس هسنبرگی و در نظر بگیریم که عناصر غیرصفر آن توسط الگوریتم (۱) تعریف نمائیم. آنگاه :
که در آن ، امین پایه به صورت زیر است.

قضیه۳-۱: [۱۶] اگر ، و را طبق تعاریف بالا داشته باشیم، آنگاه یک پایه­ -Fمتعامد از زیرفضای کرایلف ماتریس و داریم:
( ،ماتریس صفر است و )
مثال ۳-۱: فرض کنید باشد یک ماتریس تصادفی بصورت زیر باشد.
ماتریس شروع را نیز بصورت زیر تعریف می­کنیم:
ماتریس را با بردار شروع به عنوان ورودی به الگوریتم سراسری آرنولدی می­دهیم سپس در اولین مرحله ماتریس بدست می ­آید.