(۱۴-۳)

که  یک ثابت است. از طرف دیگر معادله (۹-۳) به‌صورت زیر بازنویسی می‌شود:

(۱۵-۳)

این‌یک معادله کلیدی است که ما در مدل ریاضی خود برای محاسبه مدول بالک در بلوره جامد نیاز داریم. در ادامه بروی مدول بالک که معکوس ضریب تراکم‌پذیری هم‌دما است تمرکز می‌کنیم، که به شکل زیر است:

(۱۶-۳)

از معادله (۱۶-۳) با یک جبر ساده می‌توان فهمید که معادله به‌صورت زیر می‌شود:

(۱۷-۳)

معادله بالا، قسمت اصلی روش کار ما برای تخمین مدول بالک جامدات بر اساس مکانیک آماری است. به منظور محاسبه تصحیح کوانتومی مدول بالک از رابطه زیر[۶] و رابطه(۹-۱) همچنین داده‌های ارائه شده توسط آقای وی‌جی^[۹][۳۹] استفاده می‌شود.

(۱۸-۳)

۳-۳ روش کار

شکل۳-۱ نمای کلی محاسبات عددی انجام شده برای محاسبه مدول حجمی
همان طور که از فلوچارت بالا پیداست، برای محاسبه مدول حجمی از دو کمیت  و  که به ترتیب دمای مشخصه دبای و چگالی هستند استفاده می‌کنیم. با توجه به داده‌های مربوط به  و  یک رابطه با بهره گرفتن از متناسب‌سازی(fitting) بین آنها ایجاد می‌کنیم. از رابطه بدست آمده و به کارگیری ارتباط بین  و رابطه های (۳-۱۵) و (۳-۱۷)، و استفاده از زبان برنامه نویسی فرترن به محاسبه عددی مدول حجمی می‌پردازیم. همان طور که از فلوچارت پیداست با یک بار مشتق‌گیری از  نسبت به  و استفاده از رابطه (۳-۱۵) به مقدار  دست پیدا می‌کنیم و با دو بار مشتق‌گیری به مقدار  دست پیدا می‌کنیم. لازم به ذکر است که به خاطر وابستگی  به  در حقیقت برای بدست آوردن مقدار  باید از رابطه (۳-۱۵) نسبت به  مشتق‌گیری شود و از رابطه (۳-۱۷) برای بست آوردن مدول حجمی که همان  است استفاده کرد.
فصل چهارم

بحث و نتایج

دانستن چگالی وابسته به پارامتر گرون آیزن ازیک‌طرف و به‌کارگیری روابط مکانیک آماری از طرف دیگر، ما را قادر به محاسبه مدول بالک جامدات با صحت قابل‌قبول کرد. جدای برخی از کاربرد‌های رویکرد تئوری حاضر، مکانیک آماری بر اساس فرمول مدول بالک نمایش داده‌شده در این کار برای توضیح شفاف خواص ترموفیزیکی جامدات مهم است. ارتباط واضح آن با ویژگی‌های ماکروسکوپیک جامدات موردعلاقه، ازنقطه‌نظر مکانیک آماری است [۴۱-۴۳].
بنابراین مسئله به دست آوردن یک عبارت تحلیلی برای خواص ترمودینامیکی مایعات و جامدات به‌عنوان‌ یک مسئله مهم در رشته ترمودینامیکی باقی می‌ماند [۴۴]. با قبول کردن تعریف تابع پارش بندادی از مکانیک آماری یعنی معادله (۱۵-۳) و بهسازی آن بر اساس مدل دبای جامدات در قدم اول یعنی معادله(۱۱-۳) و قرار دادن این خروجی در رابطه خالص مکانیک آماری برای فشار یعنی معادله (۱۶-۳) در قدم دوم، ما توانایی به دست آوردن یک بیان برای فشار برحسب دمای مشخصه دبای هستیم.
به دلیل درستی نتایج ما، می‌توانیم معادله (۱۵-۳) را به‌طور دستی به یک معادله در ارتباط با مدول بالک یعنی معادله (۱۷-۳) تبدیل کنیم. با پذیرش چگالی وابسته به دمای مشخصه(به‌وسیله تعریف پارامتر گرون آیزن) که به‌وسیله اندرسون [۳۶-۳۷,۴۵] معرفی‌شده است، یعنی معادله (۱۲-۳)، شکل بسته‌شده برای دمای مشخصه دبای برحسب چگالی را برای ساختار تنگ پکیده آهن یعنی معادله (۱۴-۳) را استنتاج کردیم.