فصل پنجم
تحلیل غیرخطی تاریخچه زمانی
۵-۱- مقدمه
زمین لرزه جزء بارهای دینامیکی بوده و این نوع بارها از نظر مقدار، جهت و موقعیت اثر با تغییراتی نسبت به زمان همراه می باشند. بنابراین بایستی انتظار داشت که رفتار سازه نیز در برابر زمین لرزه ها با زمان تغییر کرده و کمیت های پاسخ آن نظیر تغییر شکل ها و نیروها، نیز وابسته به زمان باشند. طراحی و تحلیل سازه ها به روش دینامیکی تاریخچه زمانی که رفتار غیرخطی مصالح و اثرات غیرخطی هندسی را در نظر بگیرد، تنها روش دقیق در تعیین رفتار و عملکرد سازه ها در حین زلزله می باشد. انجام این نوع تحلیل با محدودیت هایی از قبیل انتخاب مناسب شتابنگاشت ها، انتخاب مدل رفتاری اعضاء، وقت گیر بودن و داشتن حجم محاسبات بسیار زیاد، نداشتن توجیه اقتصادی در بسیاری از موارد و…، همراه بوده که باعث شده در آئین نامه ها و متون فنی معتبر از روش های استاتیکی معادل که ساده تر می باشند استفاده شود. این روش ها در چند دهه اخیر بدلیل وقوع زلزله های مخرب همچون لوماپریتا در سال ۱۹۸۹ و یا نورتریج در سال ۱۹۹۴ دیگر جوابگوی طراحان نبوده و بدلیل اینکه در آنها اثرات تابع زمانی بارگذاری، شکل پذیری و یا میرائی المان های سازه لحاظ نمی شود، قابل اعتماد نمی باشند.

۵-۲- معادلات حاکم بر تحلیل غیرخطی تاریخچه زمانی
پدیده ای که باعث می شود ارتعاش آزاد یک سیستم به تدریج مستهلک گردد، میرائی نامیده می شود. در میرائی، انرژی ارتعاشی سیستم بنا به مکانیزم های مختلفی مستهلک می شود. میرائی را به عنوان قدرت استهلاک انرژی در حوزه رفتار خطی و شکل پذیری (میرائی هیسترسیس) را می توان به عنوان قدرت استهلاک انرژی در حوزه رفتار غیرخطی دانست ]۳۹[.
میرائی هیسترسیس^[۶] در تحلیل دینامیکی غیرخطی کاربرد دارد و برای نشان دادن اتلاف انرژی کل زلزله می­باشد. یکی از روش هایی که این میرائی را به صورت مناسب نشان می دهد رابطه میرائی ریلی^[۷] با نسبت میرائی متغیر  است. مقدار آن بستگی به نوع سازه، مصالح استفاده شده، اعضای غیرسازه ای، زمان تناوب اصلی سازه و… دارد.
در نرم افزار SAP2000 تنها در تحلیل به روش انتگرال گیری مستقیم، میرائی موثر سازه به وسیله ماتریس میرائی کامل معرفی می شود. این میرائی می تواند ناشی از دو منبع باشد.
۱- میرایی معرفی شده در حالات تحلیل به طور مستقل: در این حالت کاربر می بایست ضریب  و  در رابطه (۵-۱) را وارد کند. این شیوه به روش ریلی معروف است.
(۵-۱)
کاربر می تواند این دو ضریب را به طور مستقیم مشخص کند و یا آن را به صورت میرائی بحرانی در دو زمان تناوب خاص معرفی کند.
ضرایب  و  مطابق رابطه (۴-۲) محاسبه می گردند.
(۵-۲)
۲- میرایی ذاتی مصالح: کاربر می تواند ضرایب میرایی موثر مربوط به سختی و جرم هر یک از مصالح را به طور جداگانه تعریف نماید.
در این تحقیق از روش اول به ازای زمان های تناوب مناسب در مدهای اول و دوم سازه  استفاده شده است.
ویژگی های اصلی و فیزیکی هر سیستم سازه ای در معرض تحریک خارجی و یا بارگذاری دینامیکی شامل جرم، ویژگی های کشسانی (انعطاف پذیری یا سختی) و مکانیزم اتلاف انرژی یا میرایی می باشد. معادله حرکت سیستم ارتعاش کننده تحت اثر زمین لرزه توسط رابطه (۵-۳) بیان می گردد ]۳۹[.
(۵-۳)
در رابطه بالا m ماتریس جرم، c ماتریس میرائی،  ماتریس نیروهای جانبی در هر درجه آزادی سازه، X بردار تغییر مکان نسبی درجات آزادی نسبت به زمین و L ارتفاع سازه می باشند. همچنین در محدوده غیرخطی نیروی سختی دیگر K نبوده و به جای آن از نیروی  استفاده می کنیم.
حل رابطه (۵-۳) در نرم افزار SAP2000 به دو روش حل مستقیم و حل مودال امکان پذیر است. در این تحقیق برای حل معادلات دیفرانسیل حاکم در نرم افزار، از روش حل مودال استفاده شده است که در ادامه ارائه می گردد.
حل مستقیم: در این روش به طور مستقیم و به صورت گام به گام زمانی به حل رابطه (۵-۳) پرداخته
می شود. در محدوده غیر خطی، ضریب میرایی تغییر نکرده و این فرض تأثیر زیادی در نتایج ندارد. در حوزه غیرخطی انتگرال دوهامل به دلیل برقرار نبودن اصل جمع آثار قوا اعتبار ندارد. بنابراین معادله دیفرانسیل تعادل در هر لحظه (گام زمانی) به صورت رابطه (۵-۴) خواهد بود.
(۵-۴)
برای حل این معادلات از روش های عددی نظیر روش تفاضل مرکزی، روش نیومارک^[۸]، روش ویلسون-  ، روش هوبولت^[۹] و همچنین روش ^[۱۰] می توان جواب های مورد نظر را بدست آورد ]۴۱[.
در روش ویلسون-  فرض اصلی این است که تغییرات شتاب در فاصله زمانی t و  که در آن  می باشد و (  ) خطی است. مقدار  طوری تعیین می شود که دقت و پایداری جواب بهینه گردد. آقای ویلسون ثابت کرده است که برای  این روش به طور نامشروط پایدار است.علاوه برپارامترهای  ، پارامتر  نیز در این روش به کار می رود. این پارامتر به دلیل کاهش مشارکت مدهای بالای غیرضروری (این مدها اثرات کوتاه مدت در حداکثر دامنه جواب ها دارند) برای کنترل پراکندگی عددی می تواند مفید باشد. بنابراین هم باعث افزایش پایداری و هم دقت نتایج می گردد. برای این پارامترها رابطه (۵-۵) تعریف شده است.
(۵-۵)
در برنامه Seismostruct ]40 [مقادیرپیش فرض به صورت  ارائه شده است. برای حالت  این روش، معادل روش نیومارک با فرض شتاب ثابت می باشد. این روش در بین روش های ارائه شده بیشترین دقت را داراست اما برای زمان های تناوب کمتر از  منجر به تخمین های دست بالا می شود.
برای مقادیر  منفی تر، مدهای با فرکانس بالا (زمان تناوب آن ها کمتر از  )سریعاً میرا می شوند. ولی در اغلب موارد مقدار منفی برای همگرایی حل معادلات لازم است.
برای نتیجه گیری بهتر می بایست همواره از  کوچک و مقادیر  نزدیک به صفر استفاده شود.
۵-۳- تحلیل غیرخطی تاریخچه زمانی
این نوع تحلیل برای تعیین نمودن پاسخ دینامیکی یک سازه تحت اثر نیروهای وابسته به زمان به کار می رود. پاسخ محاسبه شده به خصوصیات حرکات زمین بسیار حساس است، تحلیل را برای شتاب نگاشت زلزله السنترو انجام می دهیم.در ادامه عملکرد اعضای سازه ای ساختمان مورد مطالعه در دو حالت پایه گیردار و جداسازی شده تحت زلزله السنترو بررسی می گردد.
۵-۴- نحوه مدل سازی تعریف مدل های غیر خطی مصالح و انجام تحلیل تاریخچه زمانی در sap2000
تعریف نرم افزارsap 2000 :
نرم افزار sap2000 نرم افزار کاربردی مخصوص رشته عمران بوده که دارای قابلیت تحلیل و طراحی سازهای فولادی، بتنی ،پل ،مخازن و غیره را دارد.مختصر قابلیت این نرم افزار به شرح زیر می باشد.
۱- تحلیل استاتیکی و دینامیکی
۲- تحلیل خطی و غیر خطی شامل تحلیل لرزه‌ای
۳- تحلیل بار متحرک کامیون و برای پلها
۴- تحلیل P-Delta
۵- المانهای سازه‌ای SHELL و FRAME شامل تیر ستون، خرپا و رفتار غشایی و پوسته‌ای
۶- المانهای غیر خطی فنر و اتصال (LINK and SPRING)
۷- سیستمهای مختصات چند گانه
۸- انواع مختلف CONSTRAINT
۹- انواع مختلف بارگذاری‌ها
تعریف نرم افزار siesmo signal:
این نرم افزار در بررسی تمامی زلزله ها بسیار مفید بوده و از ان می توان در ترسیم نمودار های زلزله ای استفاده نمود همچنین این نرم افزار ابزاری مفید در پردازش اطلاعات شتابنگارها می باشد و طیفهای بسیاری مانند طیف شتاب ، سرعت و … و بسیاری دیگر از نمودارهای مفید را به سادگی ترسیم می کند. از قابلیت های این نرم افزار می تواب به موارد زیر اشاره نمود.
۱- رسم نمودار تاریخچه زمانی
۲- رسم طیف شتاب
۳- رسم سرعت و جابجایی
۴- رسم نمودار فوریه طیف پاسخ
برای اینکه بتوانیم تحلیل تاریخچه زمانی غیر خطی انجام دهیم باید نرم افزار seismo signal را فرا گرفت و همچنین نیاز به اطلاعات رقومی زلزله مورد نظر می باشد.ما در اینجا زلزله elecentro را برگزیده ایم و مدت زمان رخ داد زلزله را تا ۴۰ ثانیه ویرایش کرده ایم. ابتدا با بهره گرفتن از نرم افزار seismo signal طیف پاسخ شتاب زلزله elecentro را رسم می کنیم و ان را به excel می بریم وبا توجه به شتاب در نظر گرفته شده برای منطقه مورد مطالعه که ۰٫۳۵ g می باشد طیف بازتاب ایین نامه را استخراج می کنیم و ان را هم به excel می بریم .حال طیف بازتاب ایین نامه را ضربدر ۰٫۳۵g می کنیم تا به طیف پاسخ شتاب تبدیل گردد. حال باید ماکزیمم طیف پاسخ شتاب ناشی از زلزله elecentro را به ماکزیمم طیف پاسخ شتاب ناشی از ایین نامه مقیاس می کنیم و عدد ان را در scale factor برنامه sap وارد می کنیم که اشاره خواهد شد.
شکل(۵-۱) مقیاس طیف پاسخ شتاب
ماکزیمم طیف پاسخ شتاب زلزله السنترو برابر ۰٫۹۳۱۱۵ و ماکزیمم طیف پاسخ شتاب ایین نامه برابر۰٫۸۷۵ می باشد.
Scale factor=
در روش تحلیل دینامیکی غیرخطی، پاسخ سازه با درنظرگرفتن رفتار غیرخطی مصالح و رفتار غیر خطی هندسی سازه محاسبه می شود. در این روش فرض برآن است که ماتریس سختی و میرایی از یک گام ب ه گام بعد می تواند تغییر کند، اما در طول هرگام زمانی ثابت است و پاسخ مدل تحت شتاب زلزله به روش های عددی و برای هرگام زمانی محاسبه می شود.