شکل ۲-۳
اگر T دوره موج مربعی باشد و موج از نظر ارتفاع از _۱h تا _۲h تغییر کند، معادله هیل به معادله زیر کاهش می­یابد:
(۲-۴۲)
اگر داشته باشیم:
(۲-۴۳)
جواب معادله (۲-۴۲) را در بازه می­توان به شکل ماتریس زیر نمایش داد:
(۲-۴۴)
که و مقادیر اولیه x و v در ۰t = هستند. مقادیر x و v در ۲/t =T از رابطه زیر بدست می­آیند:
(۲-۴۵)
(۲-۴۶)
چون مقادیر X و V در ۲/t =T، مقادیر اولیه X و V در بازه بعدی هستند داریم:
(۲-۴۷)
(۲-۴۸)
از معادله (۲-۴۷) می­توان نتیجه را به شکل زیر نوشت:
(۲-۴۹)
در این حالت ماتریس [M] به صورت زیر است:
(۲-۵۰)
که از نمادگذاری زیر استفاده شده است.
(۲-۵۱)
مقادیر x و v در انتهای n دوره کامل موج مربعی شکل (۲-۳)، با رابطه زیر داده می­شوند:
(۲-۵۲)
در صورتی که مقادیر عددی ماتریس را بوسیله شماره ۱۰ جدول (۲-۱) یا به اشکال دیگری محاسبه کرد.
۲-۳-۳ پایداری جواب:
طبیعت جواب به شکل توان­های ماتریس [M] بستگی دارد. اگر باشد ماتریس [M] دو ریشه نهفته مجزا دارد و از شماره ۱۰ جدول (۲-۱) بدست می ­آید.
و از رابطه (۲-۵۰) می­توان مشاهده کرد که
(۲-۵۳)
دو حالت را می­توان در نظر گرفت. اگر
(۲-۵۴)
آنگاه و a باید یک بخش حقیقی مثبت داشته اشد در این حالت رابطه (۲-۵۲) را به کمک شماره ۱۰ جدول (۲-۱) می­توان به شکل زیر نوشت:
(۲-۵۵)
چون بخش حقیقی عدد a مثبت است، می­توان دید که x و v با t افزایش خواهند یافت. در کاربردهای فیزیکی این مسأله منجر به پایداری جواب­ها می­ شود. اگر
(۲-۵۶)
آنگاه
(۲-۵۷) a=jb
که
(۲-۵۸)
اگر رابطه a=jb را در معادله (۲-۵۶) قرار دهیم. جواب به این صورت خواهد بود:
(۲-۵۹)
می­توان دید که در این حالت مقادیر x و v با افزایش t نوسان می­ کنند. این حالت در کاربردهای فیزیکی منجر به جواب­های پایدار می­ شود. مرز جوابهای پایدار و ناپایدار با رابطه زیر مشخص می­شوند:
(۲-۶۰)
فقط در این حالت ماتریس [M] دو ریشه نهفته مساوی دارد. اگر ۲(A+D) = باشد دو ریشه و شکل با شماره ۱۲ جدول (۲-۱) مشخص می­ شود و اگر ۲-(A+D) = باشد دو ریشه [M] با مشخص می­ شود و از رابطه ۱۳ جدول (۲-۱) به­دست می ­آید. عموماً شرط (۲-۶۰) منجر به ناپایداری در کاربردهای فیزیکی می­ شود.
در نهایت پایداری جواب را می­توان به صورت زیر جمع­بندی کرد.
ناپایدار
(۲-۶۱) پایدار
ناپایدار
این­ها همان نتایجی است که با بهره گرفتن از قضیه فلوکت در معادله هیل به آن می­رسیم. تجزیه و تحلیل حاضر ارتباط بین طبیعت ریشه ­های نهفته [M] و معیار پایداری را مشخص می­ کند.
۲-۳-۴ حل معادله هیل در حالتی که F(t) مجموعی از توابع پله­ای باشد:
روش ماتریسی برای حل معادله هیل در حالتی که تابع F(t) را می­توان به صورت جمعی از توابع پله­ای در بازه نمایش داد (همان­طور که در شکل (۲-۴) نمایش داده شده است)، روش بسیار مفیدی است.