بالمر(۱۹۵۲)،شورنی(۱۹۸۹)

،هم برای سنگ بکر و هم سنگ شدیداً درزه دار

یوشیدا(۱۹۹۰)

A,Bوs پارامترهای مقاومتی سنگ هستند

در جایی که  مقاومت فشاری تک محوری نمونه سنگ می­باشد.به دلیل اینکه تئوری­های الاستیک کلاسیک استفاده شده برای سایر مواد برای سنگ­ها با ویژگی­های مختلف و حوضه تنش وسیع، قابل کاربرد نیست، یکسری معیار­های تجربی برای مسائل اجرایی ابداع گردیده است و این معیار­ها اغلب به شکل  در برابر  یا  در برابر  بوده وپوش آنها اکثرا محدب می­باشد.برای اطمینان از این موضوع که پارامترهای موجود در این معیار­ها بی­بعد می­باشند این معیارها همگی با تقسیم تنش­ها به مقاومت فشاری سنگ، نرمالیزه شده اند.
در ادامه به معرفی دو مورد از مهمترین معیار­های گسیختگی تجربی موجود می­پردازیم واز این معیارها برای تحلیل رفتاری سازه­ی زیر زمینی در فصول بعد استفاده می­کنیم.
۳-۲-۱- معیار بنیاوسکی:
بنیاوسکی(۱۹۷۴)بر اساس یکسری آزمایشات ۳ محوری معیار زیر را ارائه کرد.
۳-۱  ۳-۲  ۳-۳
در جایی که  تنش­های نرمال و برشی بر روی صفحه گسیختگی می­باشند. بنیاوسکی پس از آزمایشات فراوان به این نتیجه رسید که  .
مقادیر متناظر AوB نیز در جدول ذکر گردیده است.
جدول۳-۲-مقادیر ضرایب A وB با توجه به نوع سنگ]۱۷[

۳-۲-۲- معیار هوک و براون:
هوک و براون(۱۹۸۰) با آزمایش سه محوری روی تعداد زیادی از سنگ­های همسان توانستند به معادله زیر برسند.
۳-۴

σ_۱=تنش اصلی حداکثر
σ_۳=تنش اصلی حداقل
σ _c=مقاومت فشاری تک محوری سنگ بکر
mو s ضرایب ثابت می باشند که بستگی به خواص سنگ و به میزان شکستگی و درزه دار­بودن سنگ قبل از اینکه در معرض تنش­های σ_۳و σ_۱قرار گیرد،دارند. محدوده s بین مقادیر ۰ و ۱ می­باشد.هر چه s کوچکتر باشد سنگ مورد نظر ما دارای درزه بیشتر و در نتیجه دارای مقاومت کمتری می­باشد. اگر s=1 سنگ مورد نظر ما بکر وبدون درزه می­باشد. در مورد m حد بالایی تعریف نشده است.برپایه­ی آنالیز داده ­های مقاومتی موجود ودرون یابی و برون یابی داده ­های تجربی واجرایی موجودهوک ومارینوس جدول ۳ -۳ را برای محاسبه مقدار m ارائه کردند.
جدول۳-۳-مقادیر تجربی m با توجه به نوع سنگ توسط مرجع]۱۷[

۳-۳- تعیین ضرایب معیار:
همانطور که در مقدمه اشاره گردید تحلیل و مقایسه فضای زیر زمینی تحت دو معیار هوک-براون و بنیاوسکی انجام می­گیرد. در نتیجه باید برای نمونه سنگ مورد تحلیل، ضرایب ثابت متناظر با هر معیار را داشته باشیم. این ضرایب برای معیار هوک-براون  و برای معیار بنیاوسکی  می­باشند. چون در منابع مطالعه ضرایب معادل برای یک نمونه سنگ وجود نداشت،در نتیجه این معادل­سازی با بهره گرفتن از نتایج آزمایشات ۳ محوری و رگرسیون نتایج حاصله صورت می­گیرد که به طور کامل در این فصل تشریح گردیده است.
۳-۳-۱- تئوری رگرسیون:
رگرسیون یکی از مهم­ترین و پر کاربرد ترین مباحث ریاضی می­باشد که در این پایان نامه نیز از آن استفاده شده است. مهم­ترین زیر مجموعه بحث رگرسیون، بهینه­سازی داده ­ها می­باشد. زمانی که چندین جفت داده داریم می­توانیم به کمک لین بحث بهترین نمودار تخمین گذرنده از این داده ­ها را محاسبه کنیم و یا با بهره گرفتن از بحث حداقل داده ­ها مناسب­ترین ضرایب منحنی گذرنده برآن داده ­ها را محاسبه کنیم.
چندین مدل تخمینی برای تطبیق بر داده ­ها وجود دارد، اما ساده­ترین و راحت­ترین این تخمین­ها، مدل خطی می­باشد]۱۸[. این مدل به فرم خط ساده می­باشد.
۳-۵
هنگامی که ما قصد استفاده از این مدل را داریم مهم­ترین هدف ما تخمین بهینه­تریت ضرایب a و b می­باشد. برای بدست آوردن ضرایب ثابت این مدل خطی، از روش حداقل مربعات استفاده می­کنیم. اساس این روش به این صورت است که ما باید روندی را طی کنیم که در انتها جمع خطاهای بین تخمین خطی و داده ­های واقعی به حداقل خود برسد. این مجموع خطاها را جمع مربعات خطی می­نامیم.
۳-۶
Sse جمع مربعات خطاهای تقریب مورد نظر می­باشد n تعداد جفت داده ­های موجود است. برای اینکه بهینه­ترین ضرایب را داشته باشیم باید حداقل خطاها را نیز داشته باشیم. در نتیجه ابتدا معادله ۳-۶ را به طور کامل باز می­کنیم و سپس از آن نسبت به a وbمشتق می­گیریم تا ببینیم در چه مقادیری از ضرایب کمترین خطاها را داریم.
۳-۷
۳-۸
۳-۹
۳-۱۰
بهترین شرایط زمانی برای ما فراهم می­گردد که مجموع مربعات خطاها (Sse) حداقل گردد. در نتیجه ضرایب aو b را می­توانیم با مشتق­گیری از معادله۳ -۱۰ بدست آوریم.
۳-۱۱
۳-۱۲
با حل دو معادله ۳-۱۱ و ۳-۱۲ می­توانیم بهینه­ترین ضرایب aو b را بدست آوریم.
۳-۱۳
۳-۱۴
۳-۱۵
گرچه این مدل دقیق­ترین تقریب از داده ­ها نمی ­باشد اما قطعاٌ ساده­ترین مدل است.اگر بتوانیم معادله معیار­های خود را به فرم خطی ۳-۵ در­بیاوریم، به راحتی می­توانیم ضرایب ثابت آنها را تعیین کنیم.